[论文解读] Parametric measures of variability induced by risk measures

Fabio Bellini, Tolulope Fadina+2 more|Open Access at Essex (University of Essex)|Dec 9, 2020

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于风险度量的参数化可变性度量的统一框架——具体而言，是基于预期短缺差异、期望差异数和分位数差异——证明了在适当技术条件下，对称与同单调可变性度量可表示为预期短缺差异的混合形式。该研究建立了经验估计量的渐近正态性与一致性，并利用标普500指数数据展示了其在不同经济环境下的比较行为。

ABSTRACT

We present a general framework for a comparative theory of variability measures, with a particular focus on the recently introduced one-parameter families of inter-Expected Shortfall differences and inter-expectile differences, that are explored in detail and compared with the widely known and applied inter-quantile differences. From the mathematical point of view, our main result is a characterization of symmetric and comonotonic variability measures as mixtures of inter-Expected Shortfall differences, under a few additional technical conditions. Further, we study the stochastic orders induced by the pointwise comparison of inter-Expected Shortfall and inter-expectile differences, and discuss their relationship with the dilation order. From the statistical point of view, we establish asymptotic consistency and normality of the natural estimators and provide a rule of the thumb for cross-comparisons. Finally, we study the empirical behaviour of the considered classes of variability measures on the S&P 500 Index under various economic regimes, and explore the comparability of different time series according to the introduced stochastic orders.

研究动机与目标

• 开发由参数化风险度量诱导的可变性度量的一般比较理论，重点关注预期短缺、期望值和风险价值。
• 在技术条件下，将对称与同单调可变性度量表征为预期短缺差异的混合形式。
• 研究通过预期短缺差异与期望差异的逐点比较所诱导的随机序，将其与展形序联系起来。
• 建立三种可变性度量的经验估计量的渐近正态性与一致性。
• 利用标普500指数的实证数据，比较这些度量在不同经济制度下的行为表现。

提出的方法

• 提出由风险度量诱导的可变性度量的一般定义，通过互分位数差异缺乏凸性，将其与偏差度量区分开来。
• 运用数学表征方法，在正则条件下证明对称与同单调可变性度量是预期短缺差异的混合形式。
• 应用随机序理论，通过逐点比较方法比较预期短缺差异与期望差异，将其与展形序联系起来。
• 采用渐近分布理论：对于互分位数差异，利用布朗桥推导出收敛至正态分布的结果；对于互预期短缺差异与互期望差异，采用布朗运动路径上的积分。
• 利用Shorack和Wellner（2009）以及Krätschmer和Zähle（2017）的结果，推导出经验估计量的显式渐近方差，给出σ²_Q、σ²_ES和σ²_ex的显式公式。
• 对标普500指数对数收益在不同经济制度下的实证分析，比较可变性度量，并评估2020年Facebook与Berkshire Hathaway收益之间的随机序。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一理论框架下系统性地比较并统一由预期短缺、期望值和风险价值诱导的可变性度量？
• RQ2 对称与同单调可变性度量的数学结构是什么？在何种条件下可表示为预期短缺差异的混合形式？
• RQ3 由预期短缺差异与期望差异诱导的随机序如何与展形序关联？
• RQ4 这些可变性度量的经验估计量的渐近性质（一致性与正态性）是什么？
• RQ5 这些可变性度量在不同经济制度下如何表现？在所引入的随机序下，时间序列的可比性如何？

主要发现

• 在温和技术条件下，对称与同单调可变性度量可表征为预期短缺差异的混合形式，提供了根本性的结构洞见。
• 互分位数差异、互预期短缺差异与互期望差异的经验估计量均具有渐近正态性，且每类均推导出显式渐近方差。
• 对于互分位数差异，渐近方差为σ²_Q = p(1−p)/g²(p) + p(1−p)/g²(1−p) − 2(1−p)²/(g(p)g(1−p))，由布朗桥理论推导得出。
• 对于互预期短缺差异，渐近方差σ²_ES由涉及布朗运动协方差结构的双重积分给出：σ²_ES = (1/(1−p)²) × [∫∫_{[p,1]² ∪ [0,1−p]²} − 2∫∫_{[p,1]×[0,1−p]}] (s∧t − st)/(g(s)g(t)) dtds。
• 对于互期望差异，渐近方差涉及密度函数f^ex_r,F(t)的积分与交叉协方差项c^ex_p，源自期望估计量的渐近正态性。
• 对标普500对数收益的实证分析显示，在牛市、熊市与危机制度下表现出显著不同的可变性模式，其中互预期短缺差异对尾部风险表现出更高的敏感性。