[论文解读] Parametric normal form classification for Eulerian and rotational non-resonant double Hopf singularities

Majid Gazor, Ahmad Shoghi|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2018

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于非共振双霍普夫奇点的欧拉型与旋转型向量场的新型参数化正规型分类方法，采用李括号方法、时间重标度和分块矩阵分析。主要贡献是保持对称性的无穷级正规型，保留了结构化的欧拉型特性，并为具有任意符号系数的多输入系统提供了鲁棒的分岔分析与控制设计能力。

ABSTRACT

In this paper we provide novel results on the infinite level normal form and orbital normal form classifications of nonlinear Eulerian and rotational vector fields with two pairs of non-resonant imaginary modes. We use the method of multiple Lie brackets and its extension along with time rescaling for orbital normal form classification. Furthermore, we apply two reduction techniques. The first is to use the radical Lie ideal of rotational vector fields and its corresponding quotient Lie algebra. The second technique is to employ a Schur complement block matrix type in Gaussian elimination and analysis of block matrices. The infinite level parametric normal form classification are also presented. The latter is also viewed as a normal form result for multiple-input controlled systems with non-resonant double Hopf singularity. We also discuss nonlinear symmetry transformations associated with the nonlinear symmetry group of the simplest normal forms. Symbolic normal form transformation generators are derived for computer algebra implementation. Further, the results are efficiently implemented and verified using Maple for all three types of normal form computations up to arbitrary degree, where they can also include both small bifurcation parameters and arbitrary symbolic constant coefficients.

研究动机与目标

• 开发一种保持对称性的正规型分类方法，适用于具有非共振双霍普夫奇点的欧拉型与旋转型向量场。
• 解决截断经典正规型破坏欧拉型结构对称性并错误表示动力学的问题。
• 提供一个参数化正规型框架，作为具有非共振双霍普夫奇点的多输入受控系统的通用展开。
• 实现符号计算机代数系统中任意阶正规型的计算，包括小分岔参数和符号系数。
• 推导用于计算代数系统（如Maple）中实现的正规型变换的符号生成元。

提出的方法

• 应用多重李括号方法及其扩展，以对轨线和无穷级正规型进行分类。
• 利用时间重标度，以在存在旋转对称性的情况下促进轨线正规型的分类。
• 采用旋转向量场的根李理想及其商李代数，以简化分类过程。
• 利用舒尔补分块矩阵技术和高斯消元法，进行正规型计算中的分块矩阵分析。
• 推导可用于Maple等计算机代数系统实现的符号正规型变换生成元。
• 开发一个参数化正规型框架，通过所有归一化步骤保持结构对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持结构对称性的前提下，对具有非共振双霍普夫奇点的非线性欧拉型与旋转型系统进行无穷级正规型分类？
• RQ2 具有非共振双霍普夫奇点的多输入系统的参数化正规型是什么？它如何作为通用展开？
• RQ3 如何使正规型分类对实际控制应用中的小扰动和误差具有鲁棒性？
• RQ4 可以推导出哪些符号变换生成元，以实现计算机代数系统中任意阶正规型的高效计算？
• RQ5 最简正规型的非线性对称变换如何与参数化正规型的结构相关联？

主要发现

• 系统的无穷级正规型是唯一确定的，形式为 $\dot{z_i} = \sum_{j+k=0}^{2} c^i_{j,k}|z_1|^{2j}|z_2|^{2k}z_i + \sum_{k\geq 3} c^i_{0,k}|z_2|^{2k}z_i$，其中 $c^i_{j,k} = b_{j,k} + I a^i_{j,k}$，并保持欧拉型结构。
• 系数 $b_{2,1}$ 和 $b_{1,2}$ 已显式地用系统参数（包括 $\omega_1, \omega_2$ 和非线性耦合项 $a_i$）表示，其对频率比和对称性参数具有复有理依赖关系。
• 证明了参数化正规型是原系统的通用展开，可在小扰动下实现鲁棒的分岔分析与控制设计。
• 该方法在归一化过程中成功保持了欧拉型与旋转对称性，避免了截断经典正规型中常见的结构失真。
• 符号正规型生成元已在Maple中实现，可计算包含符号系数和小分岔参数的任意阶正规型。
• 通过符号计算验证了结果，证明了所提框架在高阶正规型分析中的可行性和准确性。