[论文解读] Parametric/Stochastic Model Reduction: Low-Rank Representation, Non-Intrusive Bi-Fidelity Approximation, and Convergence Analysis

Jerrad Hampton, Hillary Fairbanks+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 47被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种非侵入式、基于采样的双精度模型降阶方法，利用参数到解映射中的低秩结构，将低成本的低精度模型与少量高精度样本相结合。该方法提出了一种新颖且计算高效的误差界，其依赖于解的秩，能够可靠预测参数化和随机PDE的近似精度，并提供理论收敛保证。

ABSTRACT

For practical model-based demands, such as design space exploration and uncertainty quantification (UQ), a high-fidelity model that produces accurate outputs often has high computational cost, while a low-fidelity model with less accurate outputs has low computational cost. It is often possible to construct a bi-fidelity model having accuracy comparable with the high-fidelity model and computational cost comparable with the low-fidelity model. This work presents the construction and analysis of a non-intrusive (i.e., sample-based) bi-fidelity model that relies on the low-rank structure of the map between model parameters/uncertain inputs and the solution of interest, if exists. Specifically, we derive a novel, pragmatic estimate for the error committed by this bi-fidelity model. We show that this error bound can be used to determine if a given pair of low- and high-fidelity models will lead to an accurate bi-fidelity approximation. The cost of this error bound is relatively small and depends on the solution rank. The value of this error estimate is demonstrated using two example problems in the context of UQ, involving linear and non-linear partial differential equations.

研究动机与目标

• 开发一种非侵入式、基于采样的双精度近似方法，以极低的计算成本实现高精度。
• 利用参数与感兴趣量之间的解映射中的低秩结构，实现高效的模型降阶。
• 推导一种实用的、计算成本低廉的误差界，可预测双精度近似精度，且无需额外的高精度计算。
• 在低秩假设下，为所提方法提供理论收敛性分析。
• 在不确定性量化背景下，对线性和非线性参数化PDE验证该方法。

提出的方法

• 该方法利用少量高精度样本和大量低精度样本构建双精度近似。
• 假设解映射具有低秩结构，可通过低精度数据矩阵的SVD得到的变换矩阵T实现矩阵插值。
• 变换矩阵T定义为 T = H P_{V_k} L⁺，其中 P_{V_k} 是低精度矩阵L的主导右奇异子空间上的投影。
• 关键创新在于推导出一个基于不等式 τ‖Lx‖² + ε(τ)‖x‖² ≥ ‖Hx‖² 的实用误差界，该不等式量化了高精度与低精度模型之间的偏差。
• 该误差界依赖于解的秩和低精度矩阵的奇异值，从而可选择最优近似秩k。
• 该方法为非侵入式，仅需两类模型的样本，无需修改底层求解器。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种非侵入式双精度模型，仅使用少量高精度样本和大量低精度样本，即可实现高精度？
• RQ2 解映射的低秩结构是否能实现稳定且准确的双精度近似？
• RQ3 能否推导出一种实用且低成本的误差界，可在无需额外高精度计算的情况下预测双精度近似的精度？
• RQ4 近似误差如何随解的秩和低精度矩阵的奇异值变化？
• RQ5 所提方法在不确定性量化中对线性和非线性参数化PDE是否具有理论收敛性和鲁棒性？

主要发现

• 所提双精度近似在保持接近低精度模型计算成本的同时，实现了与高精度模型相当的精度。
• 推导出一种新颖的误差界，仅依赖于解的秩和低精度矩阵的奇异值，且计算成本极低。
• 该误差界被证明是紧致的，可用于判断给定的低精度与高精度模型组合是否能产生准确的双精度近似。
• 理论分析证明，近似误差被 τσ²_{k+1} + ε(τ) 所有界，其中 τ 和 ε(τ) 满足矩阵不等式 τLᵀL + ε(τ)I ⪰ HᵀH。
• 该方法在涉及线性和非线性PDE的两个测试问题中表现出色，实际验证了理论误差界。
• 证明了变换矩阵T的范数有界，即 ≤ τ + ε(τ)σ⁻²_k，从而控制了低精度模型中误差的放大。