[论文解读] Parametrization of Extremal Trajectories in Sub-Riemannian Problem on Group of Motions of Pseudo Euclidean Plane

Yasir Awais Butt, Yuri L. Sachkov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文研究了在特殊双曲群 SH(2) 上的次黎曼测地线，用于建模双曲平面上的运动。通过应用庞特里亚金最大值原理，推导出正常与异常情况下的极值轨迹，并通过坐标变换，利用雅可比椭圆函数对系统进行积分，从而对所有极值曲线提供了完整的参数化。

ABSTRACT

We consider the sub-Riemannian length minimization problem on the group of motions of hyperbolic plane i.e. the special hyperbolic group SH(2). The system com- prises of left invariant vector fields with 2 dimensional linear control input and energy cost functional. We prove the global controllability of control distribution and use Pon- tryagin Maximum Principle to obtain the extremal control input and sub-Riemannian geodesics. The abnormal and normal extremal trajectories of the system are analyzed qualitatively and investigated for strict abnormality. A change of coordinates trans- forms the vertical subssystem of the normal Hamiltonian system into mathematical pendulum. In suitable elliptic coordinates the vertical and horizontal subsystems are integrated such that the resulting extremal trajectories are parametrized by Jacobi elliptic functions.

研究动机与目标

• 建立特殊双曲群 SH(2) 上左不变次黎曼系统的全局可控性。
• 通过庞特里亚金最大值原理，推导正常与异常情况下的极值轨迹。
• 研究极值轨迹的定性结构，特别关注严格异常性。
• 将正常哈密顿系统的垂直子系统转化为数学摆方程。
• 在椭圆坐标系中对垂直与水平子系统进行积分，实现对极值轨迹的参数化。

提出的方法

• 应用庞特里亚金最大值原理，推导 SH(2) 上次黎曼长度最小化的必要条件。
• 分析与正常极值轨迹相关的哈密顿系统，将垂直子系统转化为数学摆方程。
• 引入坐标变换，简化动力学，使哈密顿系统中实现变量分离。
• 使用椭圆坐标对正常哈密顿系统中的垂直与水平子系统进行积分。
• 以雅可比椭圆函数表示所得极值轨迹，实现完整参数化。
• 区分正常与异常极值轨迹，并分析严格异常性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 特殊双曲群 SH(2) 上次黎曼测地线的必要条件是什么？
• RQ2 正常哈密顿系统的垂直子系统如何转化为数学摆方程？
• RQ3 在何种条件下极值轨迹为严格异常？
• RQ4 在何种坐标系中可对垂直与水平子系统实现完全积分？
• RQ5 如何利用特殊函数对所得极值轨迹进行参数化？

主要发现

• SH(2) 上的次黎曼系统具有全局可控性，确保任意两点间存在最小化曲线。
• 通过将系统变换至椭圆坐标系，利用雅可比椭圆函数对极值轨迹实现完全参数化。
• 正常哈密顿系统的垂直子系统等价于一个数学摆，从而实现解析积分。
• 在椭圆坐标系中，水平与垂直动力学实现解耦，使系统可完全积分。
• 对异常极值轨迹的严格异常性进行了分析，揭示了测地流的结构特性。
• 极值轨迹的参数化为 SH(2) 上的长度最小化问题提供了完整解。