[论文解读] Parametrization of local biholomorphisms of real analytic hypersurfaces

M. S. Baouendi, Peter Ebenfelt+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 1997

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文证明，将一个复解析、有限非退化的实解析超曲面在 $\mathbb{C}^N$ 中映射到另一个的局部双全纯胚的集合，可自然地嵌入到适当阶数的复喷射群中的一个实解析子流形。关键结果是：此类超曲面之间的双全纯等价性等价于在喷射群中求解一个显式可计算的方程组，且所有形式等价映射都是收敛的，这意味着形式等价与全纯等价一致。

ABSTRACT

Let $M$ be a real analytic hypersurface in $\bC^N$ which is finitely nondegenerate, a notion that can be viewed as a generalization of Levi nondegenerate, at $p_0\in M$. We show that if $M'$ is another such hypersurface and $p'_0\in M'$, then the set of germs at $p_0$ of biholomorphisms $H$ with $H(M)\subset M'$ and $H(p_0)=p'_0$, equipped with its natural topology, can be naturally embedded as a real analytic submanifold in the complex jet group of $\bC^N$ of the appropriate order. We also show that this submanifold is defined by equations that can be explicitly computed from defining equations of $M$ and $M'$. Thus, $(M,p_0)$ and $(M',p'_0)$ are biholomorphically equivalent if and only if this (infinite) set of equations in the complex jet group has a solution. Another result obtained in this paper is that any invertible formal map $H$ that transforms $(M,p_0)$ to $(M',p'_0)$ is convergent. As a consequence, $(M,p_0)$ and $(M',p'_0)$ are biholomorphically equivalent if and only if they are formally equivalent.

研究动机与目标

• 刻画在有限非退化点处，将一个实解析超曲面映射到另一个的局部双全纯胚的空间。
• 证明该双全纯映射空间可嵌入为复喷射群中的一个实解析子流形。
• 提供一个在喷射群中显式可计算的方程组，以判断两个此类超曲面是否双全纯等价。
• 建立形式等价蕴含全纯等价，从而解决CR几何中的一个关键问题。

提出的方法

• 作者使用有限非退化性这一概念（它是Levi非退化性的推广），以确保对超曲面具有充分的几何控制。
• 他们将双全纯胚的空间嵌入到依赖于非退化类型阶数的复喷射群中。
• 通过定义方程的收敛性与解析性性质，证明该嵌入是一个实解析子流形。
• 该子流形的定义方程从源超曲面与目标超曲面的实解析定义方程显式构造得出。
• 该方法依赖于在有限非退化性条件下形式幂级数映射的收敛性，利用复分析与CR几何中的工具。
• 喷射群的结构使得等价问题可约化为在有限维复流形中求解一个方程组。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以一种自然的方式参数化两个实解析超曲面之间双全纯胚的空间？
• RQ2 此类双全纯映射的集合是否自然地构成喷射群中的一个实解析子流形？
• RQ3 双全纯等价的条件能否表示为喷射群中一个显式可计算的方程组？
• RQ4 两个此类超曲面之间的形式等价是否蕴含全纯等价？
• RQ5 有限非退化性在确保超曲面间形式映射收敛性方面起什么作用？

主要发现

• 在点 $p_0$ 和 $p_0'$ 处，将 $M$ 映射到 $M'$ 的双全纯胚的集合，可嵌入为适当阶数的复喷射群中的一个实解析子流形。
• 该子流形由可从 $M$ 和 $M'$ 的定义方程显式计算出的方程所定义。
• 两个此类超曲面双全纯等价，当且仅当喷射群中的方程组有解。
• 任何将 $(M,p_0)$ 映射到 $(M',p_0')$ 的可逆形式映射都是收敛的，因此形式等价与全纯等价一致。
• 该结果在有限非退化性假设下成立，该条件推广了经典的Levi非退化性条件。
• 该参数化方法提供了基于喷射群数据的双全纯等价的完整且可算法化的判别准则。