[论文解读] Paraproducts, rough paths and controlled distributions

Massimiliano Gubinelli, Peter Imkeller+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用 22

一句话总结

该论文提出了一种在Rd中利用拟微分学和粗糙路径技术研究具有Besov正则性的分布乘积的新理论，使得能够求解具有粗糙时空噪声的多维SPDE，包括一类Burgers型方程和具有粗糙系数的二维非线性热方程。

ABSTRACT

We propose a theory of products of distributions in Rd with Besov regularity using techniques of paradifferential calculus and ideas from the theory of controlled rough paths. We apply this theory to solve a multi-dimensional Burgers type SPDE with rough space-time white noise, and a two-dimensional non-linear heat equation with rough space dependence.

研究动机与目标

• 为Rd中具有Besov正则性的分布乘积建立严格的框架。
• 解决当经典逐点乘法失效时，定义分布乘积的挑战。
• 将该理论应用于求解具有粗糙时空白噪声的SPDE。
• 将可控粗糙路径理论的适用性扩展至分布乘积的函数空间设定。
• 为具有低正则性系数的非线性SPDE提供统一的求解方法。

提出的方法

• 利用拟微分学对奇异分布乘积进行分解与控制。
• 应用可控粗糙路径技术处理空间与时间中的不规则性。
• 在Besov空间背景下引入可控分布的概念。
• 建立与Besov空间代数与分析性质相容的乘积结构。
• 通过二进分解与拟积估计管理奇异性。
• 依赖先验估计与不动点论证，证明解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当经典乘法失效时，如何一致地定义具有Besov正则性的分布乘积？
• RQ2 可控粗糙路径理论能否扩展至函数空间设定下处理分布乘积？
• RQ3 在何种条件下可保证具有粗糙时空噪声的SPDE解的存在性与唯一性？
• RQ4 如何利用分布乘积结构求解具有低正则性系数的非线性SPDE？
• RQ5 Besov正则性在分析粗糙SPDE中的作用是什么？

主要发现

• 通过拟微分分解，建立了Besov空间中分布乘积的一致结构。
• 该理论使得具有粗糙时空白噪声的多维Burgers型SPDE得以求解。
• 在所提框架下，具有粗糙空间依赖的二维非线性热方程存在解。
• 该方法为处理低正则性SPDE中出现的奇异乘积提供了系统性方法。
• 该方法统一了拟微分学与粗糙路径技术在分布乘积背景下的应用。
• 通过在适当的Besov型函数空间中应用不动点论证，证明了解的存在性与唯一性。