[论文解读] Parikh Automata over Infinite Words

Shibashis Guha, Ismaël Jecker+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Formal Methods in Verification被引用 1

一句话总结

本文为无限字词引入了具有可达性、安全性、Büchi 和 co-Büchi 接受条件的 Parikh 自动机，证明了大多数类别具有不可比较的表达能力，并证明了可达性和 Büchi 类型的空性问题可判定，而模型检测仅对确定性的安全性和 co-Büchi Parikh 自动机可判定。对于所有类型，普遍性、安全性和 co-Büchi 情况下的非空性以及各类游戏的求解均显示为不可判定。

ABSTRACT

Parikh automata extend finite automata by counters that can be tested for membership in a semilinear set, but only at the end of a run, thereby preserving many of the desirable algorithmic properties of finite automata. Here, we study the extension of the classical framework onto infinite inputs: We introduce reachability, safety, Büchi, and co-Büchi Parikh automata on infinite words and study expressiveness, closure properties, and the complexity of verification problems. We show that almost all classes of automata have pairwise incomparable expressiveness, both in the deterministic and the nondeterministic case; a result that sharply contrasts with the well-known hierarchy in the $ω$-regular setting. Furthermore, emptiness is shown decidable for Parikh automata with reachability or Büchi acceptance, but undecidable for safety and co-Büchi acceptance. Most importantly, we show decidability of model checking with specifications given by deterministic Parikh automata with safety or co-Büchi acceptance, but also undecidability for all other types of automata. Finally, solving games is undecidable for all types.

研究动机与目标

• 通过引入可达性、安全性、Büchi 和 co-Büchi 接受条件，将 Parikh 自动机扩展至无限字词。
• 分析这些新类别自动机的表达能力和闭包性质。
• 确定基本问题（如空性、普遍性及模型检测）的可判定性边界。
• 研究在此扩展框架下，无限字词上博弈求解的复杂性。
• 将新类别与经典的 $\omega$-正则自动机进行比较，突出其在表达能力层次上的显著差异。

提出的方法

• 为无限字词上的 Parikh 自动机提出四种接受条件：可达性、安全性、Büchi 和 co-Büchi。
• 引入两种接受变体：同步（状态与计数器条件同时满足）和异步（分别满足）。
• 从带减法保护的双计数器机构造确定性 Parikh 自动机，以减少不可判定性问题。
• 通过从不可判定问题（如通用终止性和双计数器机终止性）的约化，证明不可判定性结果。
• 利用闭包性质及涉及扩展 Parikh 图像和汇点状态的构造，证明特定类别下模型检测的可判定性。
• 利用半线性集和计数器配置定义接受，保留 Parikh 自动机的核心思想，同时扩展至 $\omega$-正则设置。

实验结果

研究问题

• RQ1 无限字词上的新类别 Parikh 自动机在表达能力上是否可比较，还是形成不可比较的层次？
• RQ2 在确定性和非确定性设置下，所有接受条件的空性问题是否均可判定？
• RQ3 当规范由具有安全性或 co-Büchi 接受的确定性 Parikh 自动机给出时，模型检测是否可判定？
• RQ4 在此扩展的 Parikh 自动机框架下，无限字词上博弈求解的复杂性如何？
• RQ5 不同接受类型下，该模型在布尔运算（尤其是否定）下是否保持闭包性？

主要发现

• 几乎所有无限字词上的 Parikh 自动机类别在表达能力上两两不可比较，与 $\omega$-正则自动机中的经典层次结构形成鲜明对比。
• 可达性和 Büchi Parikh 自动机的空性问题可判定，但安全性与 co-Büchi 类型的空性问题不可判定。
• 仅当 Parikh 自动机为确定性安全性或 co-Büchi 接受时，模型检测才可判定；其余所有类型均导致不可判定的模型检测问题。
• 所有类型无限字词上的 Parikh 自动机博弈求解均为不可判定。
• 非确定性 Büchi Parikh 自动机在否定运算下不封闭，尽管其在并和交运算下是封闭的。
• 在非确定性下，可达性和 Büchi 接受的同步与异步变体线性等价，但在确定性情况下不等价。