[论文解读] Parity Edge-Coloring of Graphs

David P. Bunde, Kevin G. Milans+2 more|ArXiv.org|Feb 15, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文引入了图的奇偶边染色和强奇偶边染色（spec），其中任意路径中每种颜色出现的次数均为偶数。研究证明了完全图 $K_n$ 的强奇偶色数为 $\widehat{p}(K_n) = 2^\lceil \lg n \rceil - 1$，当 $n$ 为2的幂时存在唯一最优染色，并证明了当 $n \leq 16$ 时 $p(K_n) = \widehat{p}(K_n)$。该结果强化了关于集合对称差的古典极值集合论界。

ABSTRACT

In a graph whose edges are colored, a parity walk is a walk that uses each color an even number of times. The parity edge chromatic number p(G) of a graph G is the least k so that there is a coloring of E(G) using k colors that does not contain a parity path. The strong parity edge chromatic number p'(G) of G is the least k so that there is a coloring of E(G) using k colors with the property that every parity walk is closed. Our main result is to determine p'(K_n). Specifically, if m is the least power of two that is as large as n, then p'(K_n) has value m - 1. As a corollary, we strengthen a special case of an old result of Daykin and Lovasz. Other results include determining p(G) and p'(G) whenever G is a path, cycle, or of the form K_{2,n}, and an upper bound on p'(G) for the case that G is a complete bipartite graph. We conclude with a sample of open problems.

研究动机与目标

• 定义并研究奇偶边染色与强奇偶边染色（spec），即要求任意路径中每种颜色出现的次数均为偶数的边染色。
• 确定此类染色所需的最少颜色数，分别引入参数 $p(G)$ 和 $\widehat{p}(G)$。
• 通过奇偶染色刻画可嵌入超立方体的图，将图论与布尔函数极值问题相联系。
• 确定 $\widehat{p}(K_n)$ 的精确值，并描述最优染色的结构，特别是当 $n$ 为2的幂时的情形。
• 探讨 $p(G)$、$\widehat{p}(G)$ 与 $\chi'(G)$ 和 $\lg n(G)$ 等经典图参数之间的关系。

提出的方法

• 定义奇偶路径为每种颜色均出现偶数次的路径；奇偶边染色禁止此类路径的存在。
• 定义强奇偶边染色（spec）为所有奇偶路径均为闭合路径（即起点与终点重合）的染色。
• 使用超立方体嵌入的刻画：连通图 $G$ 可嵌入 $Q_k$ 当且仅当它存在一种 $k$-边染色，使得每个圈都是奇偶路径，且每条路径均使用某种颜色奇数次。
• 应用代数技巧与 $\mathbb{F}_2$ 上的向量空间论证，通过顶点标签的对称差来建模边染色。
• 证明 $K_n$ 的最优 spec 对应于用长度为 $\lceil \lg n \rceil$ 的二进制向量对顶点进行标记，并以边的对称差作为边的颜色。
• 利用极值集合论证明：$n$ 个集合的对称差总数至少为 $2^{\lceil \lg n \rceil}$，且当 $n$ 为2的幂时取等。

实验结果

研究问题

• RQ1 完全图 $K_n$ 的强奇偶边染色所需的最少颜色数是多少？
• RQ2 对于各类图，强奇偶色数 $\widehat{p}(G)$ 与奇偶边色数 $p(G)$ 之间有何关系？
• RQ3 哪些图满足 $p(G) = \widehat{p}(G)$，在何种情况下二者不同？
• RQ4 当 $n$ 为2的幂时，$K_n$ 的最优强奇偶边染色是否可唯一刻画？
• RQ5 奇偶边染色与图嵌入超立方体之间存在何种关系？

主要发现

• 完全图 $K_n$ 的强奇偶边色数为 $\widehat{p}(K_n) = 2^{\lceil \lg n \rceil} - 1$，对所有 $n$ 成立。
• 当 $n = 2^k$ 时，$K_n$ 的最优强奇偶边染色唯一，对应于用不同的 $k$-位二进制串标记顶点，并以边的对称差作为颜色。
• 当 $n \leq 16$ 时，$p(K_n) = \widehat{p}(K_n)$，即奇偶边色数与强奇偶边色数一致。
• 该结果强化了 Daykin 与 Lovász 关于对称差的极值集合论结果的一个特例，证明 $n$ 个集合至少产生 $2^{\lceil \lg n \rceil}$ 个非空对称差。
• 对于奇圈 $C_n$，有 $p(C_n) = \widehat{p}(C_n) = 1 + \lceil \lg n \rceil$；对于 $K_{2,n}$，有 $p(K_{2,n}) = \widehat{p}(K_{2,n})$，当 $n$ 为偶数时值为 $n$，当 $n$ 为奇数时值为 $n+1$。
• 本文证明了对连通图有 $p(G) \geq \lceil \lg n(G) \rceil$，且当路径与偶圈时取等，并表明 $p(G) = \lceil \lg n(G) \rceil$ 对所有超立方体的子图均成立。