[论文解读] Parity Labeling in Signed Graphs

Mukti Acharya, Joseph Varghese Kureethara|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文引入了签名图中的奇偶性标记，将奇偶性签名图定义为边符号取决于顶点标签奇偶性（奇/偶）的图：若端点具有相同奇偶性，则边为正；否则为负。主要贡献在于刻画了哪些签名图（尤其是环、路径、星形图和冠图）是奇偶性签名图，完整刻画表明：当且仅当其阶数为偶数时，负同质环是奇偶性签名图。

ABSTRACT

Let $S=(G, σ)$ be a signed graph where $G=(V, E)$ is a graph called the underlying graph of $S$ and $σ:E(G) ightarrow \{+,~-\}$. Let $f:V(G) ightarrow \{1,2,\dots,|V(G)|\}$ such that $σ(uv)=+$ if and only if $f(u)$ and $f(v)$ are of same parity and $σ(uv)=-$ if and only if $f(u)$ and $f(v)$ are of opposite parity. Under $f$ we get a signed graph $G_f$ denoted as $S$, which is a parity signed graph. In this paper, we initiate the study of parity labeling in signed graphs and we define and find `rna' number denoted as $σ^-(S)$ for some classes of signed graphs. We also characterize some signed graphs which are parity signed graphs. Some directions for further research are also suggested.

研究动机与目标

• 启动对签名图中奇偶性标记的研究，提出一种基于顶点奇偶性的新型标记方案。
• 定义并计算‘rna’数 σ⁻(S)，作为奇偶性签名图中负边数量的度量。
• 刻画标准签名图（如环、路径、星形图、冠图）中哪些是奇偶性签名图。
• 探讨奇偶性签名图的结构约束，特别是关于正或负同质分量存在的条件。
• 识别开放问题并为奇偶性标记与签名图理论的未来研究提供方向。

提出的方法

• 定义奇偶性签名图 S = (G, σ)，其中 σ(uv) = + 当 f(u) 与 f(v) 奇偶性相同时，σ(uv) = – 当奇偶性不同时。
• 使用双射 f: V(G) → {1, 2, ..., n} 为顶点分配整数标签，根据奇偶性诱导边符号。
• 若存在一种标记方式可实现给定的边符号，则称该签名图为奇偶性签名图。
• 将基于奇偶性的标记应用于标准图：路径、环、星形图、完全图以及冠图（J∘K）。
• 运用组合与奇偶性论证，证明签名图为奇偶性签名图的必要与充分条件。
• 引入并计算‘rna’数 σ⁻(S)，定义为奇偶性签名图中负边的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些签名图可接受一种奇偶性标记，使得边符号仅由顶点标签的奇偶性决定？
• RQ2 对于哪些图类（如环、路径、星形图、冠图）存在负同质奇偶性签名图？
• RQ3 负同质环成为奇偶性签名图的必要与充分条件是什么？
• RQ4 是否每个图都可被标记为奇偶性签名图？若不能，其结构上存在何种约束？
• RQ5 ‘rna’数 σ⁻(S) 与图的结构之间存在何种关系，特别是对于完全图和冠图？

主要发现

• 阶数 n ≥ 4 的负同质环是奇偶性签名图当且仅当 n 为偶数。
• 对于任意连通非平凡图，不存在正同质奇偶性签名图，因为偶标签顶点必须与奇标签顶点相邻。
• 所有负边路径 P_n 都是奇偶性签名图，可通过将顶点标记为连续整数 1 到 n 实现。
• 冠图 C_n ∘ K_1 是负同质奇偶性签名图当且仅当 n 为偶数。
• 冠图 K_n ∘ K_1 仅当 n ≤ 2 时为负同质奇偶性签名图；当 n ≥ 3 时，其包含 C_3 作为子图，而 C_3 无法为负同质。
• 通过一条边连接两个负同质奇偶性签名图所形成的签名图本身也是奇偶性签名图，前提是该桥边的符号与连接顶点的奇偶性一致。