[论文解读] Parity-Time Symmetry Breaking beyond One Dimension: The Role of Degeneracy

Li Ge, A. Douglas Stone|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2014

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 26被引用 10

一句话总结

本文研究了高维非厄米系统中的宇称-时间（PT）对称性破缺，表明谱简并性会阻止标准PT相变的发生，除非额外的离散对称性被保留。研究证明，只有当存在对称性保护的子空间时，实谱才能在有限区间的增益-损耗强度范围内保持不变；此外，多模耦合可在有限破缺强度下恢复PT对称性，且在RT对称性下与PT对称性相比表现出定性不同的行为。

ABSTRACT

We consider the role of degeneracy in Parity-Time (PT) symmetry breaking for non-hermitian wave equations beyond one dimension. We show that if the spectrum is degenerate in the absence of T-breaking, and T is broken in a generic manner (without preserving other discrete symmetries), then the standard PT-symmetry breaking transition does not occur, meaning that the spectrum is complex even for infinitesimal strength of gain and loss. However the realness of the entire spectrum can be preserved over a finite interval if additional discrete symmetries X are imposed when T is broken, if X decouple all degenerate modes. When this is true only for a subset of the degenerate spectrum, there can be a partial PT transition in which this subset remains real over a finite interval of T-breaking. If the spectrum has odd-degeneracy, a fraction of the degenerate spectrum can remain in the symmetric phase even without imposing additional discrete symmetries, and they are analogous to dark states in atomic physics. These results are illustrated by the example of different T-breaking perturbations of a uniform dielectric disk and sphere, and a group theoretical analysis is given in the disk case. Finally, we show that multimode coupling is capable of restoring the T-symmetric phase at finite T-breaking. We also analyze these questions when the parity operator is replaced by another spatial symmetry operator and find that the behavior can be qualitatively different.

研究动机与目标

• 理解高维非厄米系统中谱简并性如何影响标准PT对称性破缺相变。
• 确定在非厄米增益与损耗扰动下，完整或部分谱保持实数的条件。
• 分析额外离散对称性（如χ）及多模耦合在恢复PT对称相中的作用。
• 比较高维系统中PT对称系统与RT对称系统的不同行为。
• 为简并谱中受保护模态的分类提供群论框架。

提出的方法

• 发展了一种耦合模理论，用于建模在PT破缺扰动下简并模态之间的相互作用。
• 应用群论分析以分类不可约表示，并在二维介质圆盘中识别对称性保护的子空间。
• 将特征值问题约化为球体和圆盘模型中3×3耦合矩阵的矩阵特征值方程。
• 由耦合矩阵导出的三次方程的判别式决定了实特征值的出现及相位恢复的临界点。
• 通过数值模拟追踪特征频率随增益-损耗强度τ的变化，识别实谱与复谱区域。
• 在PT与RT对称性下对系统进行分析，以比较其在高维中的不同行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在简并的高维系统中，何种条件下标准PT对称性破缺相变不会发生？
• RQ2 额外的离散对称性（χ）如何使谱在有限区间的PT破缺强度下保持实数？
• RQ3 即使初始谱为复数，多模耦合是否可在有限增益-损耗强度下恢复PT对称相？
• RQ4 奇简并性在何种程度上可使部分谱在无额外对称性下保持实数？
• RQ5 用RT对称性替代PT对称性时，高维系统中的谱行为有何变化？

主要发现

• 在简并系统中，对于一般PT破缺扰动，即使增益-损耗强度极小，谱也会变为复数，从而排除标准PT相变的发生。
• 当额外的离散对称性χ被保留并使简并模态解耦时，整个谱可在τ的有限区间内保持实数。
• 若仅部分简并模态被χ解耦，则发生部分PT相变，仅该部分模态保持实数。
• 在奇简并系统中，即使无额外对称性，部分谱仍可保持实数，类似于原子物理中的暗态。
• 多模耦合可在有限τ下恢复PT对称相，如当G_o0增加30%时，在τ∈[0.152,0.166]区间内实现实谱的恢复。
• RT对称系统即使在对应PT对称系统无法实现的情况下，仍可表现出完全实谱，表明其行为具有定性差异。