[论文解读] Park City lectures on elliptic curves over function fields

Douglas Ulmer|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文研究了有限域上函数域上的椭圆曲线，通过椭圆曲面和雅可比簇，建立了Birch与Swinnerton-Dyer猜想与Tate猜想之间的联系。论文利用Berger构造与伽罗瓦下降法，显式构造了在函数域扩张塔中Mordell-Weil秩无界的椭圆曲线，对 d=2pf−1 的情形实现至少 d−1 的秩，对所有与 p 互素的 d 实现秩 d 的情形。

ABSTRACT

These are the notes from a course of five lectures at the 2009 Park City Math Institute. The focus is on elliptic curves over function fields over finite fields. In the first three lectures, we explain the main classical results (mainly due to Tate) on the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture in this context and its connection to the Tate conjecture about divisors on surfaces. This is preceded by a "Lecture 0" on background material. In the remaining two lectures, we discuss more recent developments on elliptic curves of large rank and constructions of explicit points in high rank situations.

研究动机与目标

• 建立函数域上椭圆曲线的经典理论，特别是 Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想及 Tate 猜想的类比。
• 将函数域上椭圆曲线的算术性质与椭圆曲面的几何性质及曲面上除子的上同调联系起来。
• 构造函数域扩张塔中 Mordell-Weil 秩无界的椭圆曲线显式族。
• 在 Kd = Fq(t1/d) 上提供有理点的初等显式构造，实现高秩，尤其针对 d 为 2pf−1 或与 p 互素的情形。
• 证明函数域中高秩现象可通过初等方法实现，可能早在 1960 年代即被发现。

提出的方法

• 利用与有限域上光滑射影曲线 C 关联的函数域 K = Fq(C)，其中处 v 对应于闭点。
• 应用 Tate 关于阿贝尔簇同态的定理及 Néron-Tate 高度配对，分析 Mordell-Weil 群中点的独立性。
• 采用 Berger 构造：给定有理函数 f 和 g，方程 f(x) = t g(y) 定义一条亏格为 1 的曲线，其雅可比簇与椭圆曲线 E 同源。
• 利用伽罗瓦下降法及 μd（单位根）在雅可比簇上的作用，构造曲线 Cd 与 Dd 雅可比簇之间的 μd-不变同态。
• 应用 Honda-Tate 理论，研究有限域上阿贝尔簇的同源类，以界定 Hom(JCd, JDd)μd 的秩。
• 通过拉回雅可比簇上的扭点，利用映射 φ ∘ Frpf 确保 μd-不变性，显式构造 E(Kd) 上的点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在函数域上的椭圆曲线背景下，Birch 与 Swinnerton-Dyer 猜想和 Tate 猜想之间如何相互关联？
• RQ2 在 d 变化时，何种条件可保证椭圆曲线在 Kd = Fq(t1/d) 上的 Mordell-Weil 群具有无界秩？
• RQ3 能否在函数域扩张上显式构造椭圆曲线的有理点以实现高秩？
• RQ4 伽罗瓦群作用与 μd 在雅可比簇上的作用如何影响 Mordell-Weil 群的结构？
• RQ5 弗罗贝尼乌斯态射在构造雅可比簇之间 μd-不变同态以实现高秩的过程中起什么作用？

主要发现

• 对定义在 K = Fp(t) 上的椭圆曲线 E：y² + xy + ty = x³ + tx²（p > 2），点 P(ζi_d t^{1/d})（i = 0, ..., d−1）生成 E(Kd) 的一个子群，其秩为 d−2。
• 点之间的关系为：∑_{i=0}^{d−1} Pi 与 ∑_{i=0}^{d−1} (−1)^i Pi 为扭点，确认其在 Mordell-Weil 群中有限指数。
• 当 d = 2pf−1 时，E(Fp(t^{1/d})) 的秩至少为 d−1，通过 μd-不变同态 (φ ∘ Frpf)*: JCd → JDd 实现。
• 在进一步构造中，对每个 p，存在定义在 Fp(t) 上的椭圆曲线 E，使得对所有与 p 互素的 d，有 Rank E(Fp(t^{1/d})) ≥ d。
• 在 Fp(μd)(t^{1/d}) 上，对 d = pf + 1 的情形，显式点的构造以初等方式实现无界秩，方法可追溯至 1960 年代。
• 第一个例子中曲线的导子次数为 d+2，与 Lecture 4 的推论 2.2.2 中的秩公式一致。