[论文解读] Parking functions and triangulation of the associahedron

Jean-Louis Loday|ArXiv.org|Oct 18, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了在单纯形的顶维单形与停车函数之间的自然双射，表明这两组对象的大小均为 $(n+1)^{n-1}$。通过基于交错和面分解的归纳构造，本文提供了与弱Bruhat序相容的关联单纯形和排列单纯形的最小三角剖分，将这些多面体实现为单纯集的几何 realization。

ABSTRACT

We show that a minimal triangulation of the associahedron (Stasheff polytope) of dimension n is made of (n+1)^{n-1} simplices. We construct a natural bijection with the set of parking functions from a new interpretation of parking functions in terms of shuffles.

研究动机与目标

• 构建与Tamari偏序集及其边定向相容的关联单纯形（Stasheff多面体）的最小三角剖分。
• 证明该三角剖分中顶维单形的数量为 $(n+1)^{n-1}$，与停车函数的数量一致。
• 在长度为 $n$ 的停车函数集合与关联单纯形的顶维单形之间定义一个自然双射。
• 将该构造扩展至排列单纯形，为其三角剖分提出类似的归纳结构。

提出的方法

• 通过基于Tamari偏序集的定向单形构造关联单纯形作为单纯集的几何 realization。
• 通过一种新的基于交错的归纳分解定义停车函数：$PF_n = \bigcup_{p+q=n-1} \big\bracevert \{1,\ldots,p+1\} \times Sh(p,q) \times PF_p \times PF_q \big\}$。
• 利用 $S_n$ 上的弱Bruhat序来定向排列单纯形的边，确保与三角剖分相容。
• 通过在不包含南极点的面上进行锥化，归纳地构建排列单纯形 $\mathcal{P}^n$ 的三角剖分。
• 将 $SM(n,p)$ 定义为从 $[n+1]$ 到 $[p+1]$ 的有序满射映射集合，排除最大映射 $f_0$，并用其参数化面。
• 建立排列单纯形 $\mathcal{P}^n$ 的顶维单形的递归公式：$ZP_n = \bigcup_{p=0}^{n-1} SM(n,p) \times Sh(p,n-p-1) \times ZP_p \times ZP_{n-p-1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在关联单纯形的顶维单形与长度为 $n$ 的停车函数之间的典范双射？
• RQ2 能否对关联单纯形进行最小三角剖分，使得单形与Tamari偏序集的边定向相容？
• RQ3 数 $(n+1)^{n-1}$ 是否同时计数了停车函数的数量以及关联单纯形最小三角剖分中顶维单形的数量？
• RQ4 能否使用基于交错和面分解的类似归纳结构来对排列单纯形进行三角剖分？
• RQ5 哪些组合对象满足排列单纯形顶维单形的递归公式，其作用类似于停车函数？

主要发现

• 在维度为 $n$ 的关联单纯形的最小三角剖分中，顶维单形的数量恰好为 $(n+1)^{n-1}$，与长度为 $n$ 的停车函数的数量一致。
• 通过基于交错的归纳分解，构造了停车函数集合 $PF_n$ 与关联单纯形顶维单形之间的自然双射。
• 关联单纯形的三角剖分与Tamari偏序集诱导的边定向相容，使其成为单纯集的几何 realization。
• 排列单纯形 $\mathcal{P}^n$ 具有三角剖分，其顶维单形数量为 $\#ZP_n$，当 $n = 0$ 到 $8$ 时，序列为 $1, 1, 4, 34, 488, 10512, \ldots$，并满足涉及 $SM(n,p)$ 和交错的递归公式。
• 排列单纯形三角剖分的递归结构与停车函数的结构相匹配，暗示了排列单纯形存在类似停车函数的组合类比。