[论文解读] Partial actions and automata

Mikhailo Dokuchaev, Boris Novikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

semigroups and automata theory参考文献 2被引用 10

一句话总结

本文引入了预自动机（preautomata）作为自由幺半群 Σ∗ 的部分作用的有限自动机的推广，使得能够识别超出正则语言类的语言。它证明了由预自动机识别的语言可分解为前缀码与星闭集的不相交并集，推广了艾伦堡定理（Eilenberg theorem），但表明克林定理（Kleene’s theorem）不适用于预自动机——即预自动机识别的语言类严格大于有限自动机所识别的语言类。

ABSTRACT

We use the notion of a partial action of a monoid to introduce a generalization of automata, which we call "a preautomaton". We study properties of preautomata and of languages recognized by preautomata.

研究动机与目标

• 通过自由幺半群 Σ∗ 的部分作用引入预自动机，推广有限自动机。
• 研究预自动机的性质及其所识别语言的特性，尤其与经典自动机理论的关系。
• 探究经典结果（如克林定理与迈希尔-尼罗德定理）是否可推广至预自动机。
• 比较预自动机与有限自动机、下推自动机及图灵机的表达能力。
• 厘清预自动机与前缀码之间的关系，并刻画其所识别语言的结构。

提出的方法

• 将预作用（preaction）定义为满足结合律与单位元条件的部分映射 X × M ⇢ X，从而推广全群/幺半群作用。
• 将预自动机定义为三元组 (Σ, X, δ*)，其中 δ* : X × Σ* ⇢ X 是满足部分结合律与单位元公理的部分映射。
• 通过 X × Σ* 上的等价关系 ≈ 构造预自动机的全局化，其中 (x,a) ≈ (y,b) 当且仅当 ∃a',b',p 满足 a=a'p, b=b'p, 且 xa'=yb'≠∅。
• 利用艾伦堡定理的前缀分解结果，推广预自动机所识别语言的结构。
• 通过右语法同余关系应用迈希尔-尼罗德定理，分析语言的可识别性与不可识别性。
• 构造反例以证明克林定理在预自动机中不成立，使用 {aⁿbⁿ} 和 {aⁿbⁿcⁿ} 等非正则、非上下文无关但可被预自动机识别的语言。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过自由幺半群 Σ∗ 的部分作用推广自动机的概念？此类广义机器（即预自动机）具有哪些性质？
• RQ2 经典自动机理论中的结果（如艾伦堡定理的前缀分解与克林定理的正则语言表征）在多大程度上可推广至预自动机？
• RQ3 预自动机所识别语言类与其他经典语言类（如正则、上下文无关、递归可枚举）之间存在何种关系？
• RQ4 是否存在被预自动机识别但无法被有限自动机、下推自动机甚至图灵机识别的语言？
• RQ5 能否完全通过前缀码及其星闭包来刻画预自动机所识别语言的结构？

主要发现

• 由预自动机识别的语言可分解为不相交并集形式 ⨆ᵢ HᵢCᵢ*，其中 Hᵢ 与 Cᵢ 均为前缀码，推广了艾伦堡定理。
• 克林定理不适用于预自动机：存在预自动机可识别非正则语言，如 {aⁿbⁿ} 与 {aⁿbⁿcⁿ}，这些语言既非上下文无关。
• 有限预自动机（FPA）类严格包含有限自动机（FA）类，如通过一个被预自动机识别但无法被任何有限自动机识别的语言所证明。
• 有限预自动机类不包含下推自动机（FSA），因为语言 {aⁿbⁿcⁿ} 非上下文无关，但可被预自动机识别。
• 有限预自动机类对并、积与迭代不封闭，反例表明其语法同余关系可有不可数无穷多个等价类。
• 语言 {aⁿ²} 无法被任何有限自动机或预自动机识别，表明 FPA 不足以识别所有递归可枚举语言。