[论文解读] Partial actions and proper extensions of two-sided restriction semigroups

Kudryavtseva, Ganna|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

semigroups and automata theory参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文建立了两面限制半群 S 的恰当扩张范畴与特定部分作用范畴之间的范畴等价，推广了 O’Carroll 关于逆半群的幂等纯扩张的结果。文中引入了新的预态射类（如局部强和乘法型），并证明恰当扩张可分解为部分作用积，其结构完全由这些部分作用通过伴随关系和反射/余反射子范畴捕捉。

ABSTRACT

We prove a structure result on proper extensions of two-sided restriction semigroups in terms of partial actions, generalizing respective results for monoids and for inverse semigroups and upgrading the latter. We introduce and study several classes of partial actions of two-sided restriction semigroups that generalize partial actions of monoids and of inverse semigroups. We establish an adjunction between the category P(S) of proper extensions of a restriction semigroup S and a category A(S) of partial actions of S subject to certain conditions going back to the work of O'Carroll. In the category A(S), we specify two isomorphic subcategories, one being reflective and the other one coreflective, each of which is equivalent to the category P(S).

研究动机与目标

• 将 O’Carroll 关于逆半群的幂等纯扩张的结构结果推广至两面限制半群的设定。
• 为限制半群中的部分作用与预态射建立一个框架，扩展单子与逆半群中已知的概念。
• 建立限制半群 S 的恰当扩张范畴与 S 的特定部分作用范畴之间的范畴等价。
• 引入并研究新的预态射类——保序、强、局部强、乘法、局部乘法——推广已有概念。
• 通过底层预态射刻画 F-态射与 FA-态射，表明其在通过最大截面捕捉恰当扩张中的作用。

提出的方法

• 定义限制半群之间的预态射，并通过在幂等元半格上的部分双射部分作用建立联系。
• 引入部分作用积 $ Y \rtimes_q^\phi S $，其中 $ Y $ 为半格，$ \phi $ 为 S 的部分作用，满足条件 (A1)–(A4)。
• 利用标准投影 $ \hat{\psi} $ 与 $ \tilde{\psi} $，证明 $ Y \rtimes_q^\phi S $ 是一个限制半群且为 S 的恰当扩张。
• 从恰当扩张 $ \psi: T \to S $ 构造两个底层预态射 $ \hat{\psi} $ 与 $ \tilde{\psi} $，并证明 $ T \cong P(T) \rtimes S $ 成立于任一者。
• 在恰当扩张范畴 $ \mathcal{P}(S) $ 与部分作用范畴 $ \mathcal{A}(S) $ 之间建立伴随关系，其中反射与余反射子范畴与 $ \mathcal{P}(S) $ 等价。
• 通过纤维中最大元的存在性定义 F-态射，并将其性质（保序、局部强等）与关联预态射的性质相关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用部分作用描述限制半群的恰当扩张结构？
• RQ2 在限制半群的语境下，哪些部分作用与预态射类可推广自单子与逆半群？
• RQ3 限制半群 S 的恰当扩张范畴与部分作用范畴之间存在何种范畴关系？
• RQ4 在何种条件下出现 F-态射或 FA-态射？其性质如何与底层预态射相关？
• RQ5 与恰当扩张 $ \psi $ 关联的预态射 $ \hat{\psi} $ 与 $ \tilde{\psi} $ 的性质如何决定扩张的结构？

主要发现

• 限制半群 S 的恰当扩张范畴 $ \mathcal{P}(S) $ 与 S 的部分作用范畴 $ \mathcal{A}(S) $ 等价，且其反射与余反射子范畴亦与 $ \mathcal{P}(S) $ 等价。
• 恰当扩张 $ \psi: T \to S $ 可分解为部分作用积 $ P(T) \rtimes S $，其中 $ P(T) $ 为 T 的幂等元半格，且可通过 $ \hat{\psi} $ 或 $ \tilde{\psi} $ 实现。
• 当 S 为单子时，范畴 $ \mathcal{P}(S) $ 与 $ \mathcal{A}(S) $ 等价，且 $ \mathcal{P}_s(S) $ 与 $ \mathcal{A}_s(S) $ 亦等价，扩展了逆半群的已知结果。
• F-态射定义为每个纤维有最大元的恰当态射，且关联映射 $ \tau(s) = \max \{ t \in T : \psi(t) = s \} $ 为一预态射。
• 预态射 $ \psi $ 的性质（如保序、局部强、乘法）等价于其关联的 $ \hat{\psi} $ 与 $ \tilde{\psi} $ 的对应性质，建立了精确对应关系。
• F-态射类推广了 F-限制单子，FA-态射类推广了额外恰当的 F-限制单子，当 S 与 T 均为逆半群时，二者区别消失。