[论文解读] Partial Automorphisms and Injective Partial Endomorphisms of a Finite Undirected Path

Ilinka Dimitrova, Vítor H. Fernandes+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2021

semigroups and automata theory参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文确定了有限无向路径 Pn（具有 n 个顶点）的单射部分自同态（IEnd(Pn)）与部分自同构（PAut(Pn)）的秩及 Green 关系。通过区间保持变换的结构分析与生成集最小化，推导出精确公式：当 n≥4 时，rank(PAut(Pn)) = n−1，且当 n≥4 时，rank(IEnd(Pn)) = n + ⌈n/2⌉ − 2，对较小的 n 值也给出了闭式表达。结果通过部分映射的分解与反素半群技巧建立。

ABSTRACT

In this paper, we study partial automorphisms and, more generally, injective partial endomorphisms of a finite undirected path from Semigroup Theory perspective. Our main objective is to give formulas for the ranks of the monoids $IEnd(P_n)$ and $PAut(P_n)$ of all injective partial endomorphisms and of all partial automorphisms of the undirected path $P_n$ with $n$ vertices. We also describe Green's relations of $PAut(P_n)$ and $IEnd(P_n)$ and calculate their cardinals.

研究动机与目标

• 确定有限无向路径 Pn 上单射部分自同态与部分自同构的单子半群 IEnd(Pn) 与 PAut(Pn) 的最小生成集（即秩）。
• 利用区间保持部分映射的结构性质，显式描述 IEnd(Pn) 的 Green 关系 L、R、H 和 J，以及逆单子半群 PAut(Pn) 的 J 关系。
• 计算 IEnd(Pn) 与 PAut(Pn) 的基数，提供精确的组合计数。
• 通过分析元素的秩与定义域/像结构，特别是区分属于 PAut(Pn) 与属于 IEnd(Pn)\PAut(Pn) 的元素，建立 IEnd(Pn) 的最小生成集。
• 解决路径图上 IEnd(Pn) 秩的计算这一开放问题，扩展了此前对自同态单子半群的研究。

提出的方法

• 将 IEnd(Pn) 与 PAut(Pn) 的元素分解为在定义域最大区间上定义的变换，利用区间保持作为关键结构约束。
• 利用在最大区间上保持顺序或反序的行为来刻画属于 IEnd(Pn) 与 PAut(Pn) 的成员资格，利用路径的线性结构。
• 为每个 α ∈ IEnd(Pn) 定义一个关联的典范变换 β*，通过重编号像以保持区间结构与邻接性，证明 β* ∈ PAut(Pn)，从而支持生成集的构造。
• 构造 IEnd(Pn) 的生成集 B = {βi | i=2,…,n−1} ∪ {τ, α1, αn}，其中 βi 表示移除顶点 i，τ 为反转映射，α1 与 αn 为特定的部分置换。
• 应用归纳法与复合论证，证明任意 α ∈ IEnd(Pn) 均可表示为 B 与 PAut(Pn) 中元素的乘积，从而证明 IEnd(Pn) = ⟨B⟩。
• 采用下界论证结合秩分析：证明至少需要 ⌈n/2⌉−1 个生成元来自 IEnd(Pn)\PAut(Pn)，且当 n≥4 时至少需要 n−1 个来自 PAut(Pn)，以确立生成集的最小性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有 n 个顶点的有限无向路径，其单射部分自同态单子半群 IEnd(Pn) 的最小生成元数量（即秩）是多少？
• RQ2 对于具有 n 个顶点的有限无向路径，其部分自同构单子半群 PAut(Pn) 的最小生成元数量（即秩）是多少？
• RQ3 IEnd(Pn) 的 Green 关系 L、R、H 和 J 如何显式描述？对于逆单子半群 PAut(Pn)，其 J 关系如何描述？
• RQ4 单子半群 IEnd(Pn) 与 PAut(Pn) 的精确基数是多少？
• RQ5 是否可以显式构造 IEnd(Pn) 的最小生成集？该生成集在同构意义下是否唯一？

主要发现

• 当 n=1 时，PAut(Pn) 的秩为 2；当 n=2 时，为 2；当 n=3 时，为 3；当 n≥4 时，为 n−1。
• 当 n=1 时，IEnd(Pn) 的秩为 2；当 n=2 时，为 2；当 n=3 时，为 4；当 n≥4 时，为 n + ⌈n/2⌉ − 2。
• 单子半群 IEnd(Pn) 由集合 B = {βi | i=2,…,n−1} ∪ {τ, α1, αn} 生成，其中 βi 表示移除顶点 i，τ 为反转映射，α1 与 αn 为特定的部分置换。
• 当 n≥1 时，PAut(Pn) 的基数为 2n，其显式结构基于路径对称性与区间保持映射。
• 当 n≥2 时，IEnd(Pn) 的基数为 2n + 2∑_{j=1}^{⌊(n−1)/2⌋} (n−2j−1)，其闭式表达通过区间分解导出。
• IEnd(Pn) 的 Green 关系由定义域与像区间刻画：αLβ 当且仅当 Im α = Im β；αRβ 当且仅当 Dom α = Dom β；αHβ 当且仅当定义域与像均相等。