[论文解读] Partial averaging and dynamics of the dominant Hamiltonian, with applications to Arnold diffusion

V. A. Kaloshin, Ke Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Quantum chaos and dynamical systems被引用 5

一句话总结

本文引入了一类近乎可积哈密顿系统中的共振——称为主导共振——其动力学可由共振基中两个分离良好的组之一所导出的子系统近似。本文证明该子系统能准确捕捉向量场与弱KAM理论结构，从而可构建具有简单阿布里集几何结构的扩散路径，这是证明任意自由度凸哈密顿系统中阿诺德扩散的关键一步。

ABSTRACT

It is well known that instabilities of nearly integrable Hamiltonian systems occur around resonances. Dynamics near resonances of these systems is well approximated by the associated averaged system, called slow system. Each resonance is defined by a basis (a collection of integer vectors). We introduce a class of resonances whose basis can be divided into two well separated groups and call them dominant. We prove that the associated slow system can be well approximated by a subsystem given by one of the groups, both in the sense of the vector field and weak KAM theory. One of crucial ingredients of proving Arnold diffusion is understanding the structure of invariant (Aubry) sets of nearly integrable systems. As an important application we construct a diffusion path for a generic nearly integrable system such that invariant (Aubry) sets along this path have a simple structure similar to the structure of Aubry-Mather sets of twist maps. This is a crucial ingredient in proving Arnold diffusion for convex Hamiltonians in any number of degrees

研究动机与目标

• 理解近乎可积哈密顿系统中靠近共振的动力学行为，特别是与阿诺德扩散的关系。
• 识别一类共振——主导共振——其系统行为可通过将基向量分为两个良好分离的组而得以简化。
• 证明与这类共振相关的慢系统可被一个源自其中一组的子系统近似，且保持向量场与弱KAM理论结构。
• 在典型近乎可积系统中构建一条扩散路径，使得不变（阿布里）集具有简单、类似扭转映射的结构。
• 为证明任意自由度下凸哈密顿系统的阿诺德扩散提供基础步骤。

提出的方法

• 引入主导共振的概念，其定义为共振基可划分为两个良好分离的组。
• 应用部分平均法，将完整慢系统约化为基于其中一组的子系统，并证明其与原系统在向量场结构上等价。
• 利用弱KAM理论证明约化系统的不变集（阿布里集）与全系统一致。
• 在相空间中构建一条扩散路径，其中每个共振均为主导类型，且相关的阿布里集具有简单、类似扭转映射的几何结构。
• 利用路径上阿布里集结构的简洁性，支持凸哈密顿系统中阿诺德扩散的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当共振基划分为两个良好分离的组时，能否有效将近乎可积哈密顿系统在共振附近的动力学约化为子系统？
• RQ2 约化子系统是否保留了原系统向量场结构与弱KAM理论框架的本质特征？
• RQ3 能否在典型近乎可积系统中构建一条扩散路径，使得路径上不变（阿布里）集具有简单、类似扭转映射的结构？
• RQ4 此类路径上阿布里集的结构如何与阿诺德扩散机制相关联？
• RQ5 该方法能否推广至证明任意自由度下凸哈密顿系统的阿诺德扩散？

主要发现

• 与主导共振相关的慢系统可被一个源自共振基中两组之一的子系统良好近似。
• 该近似同时保持了原系统的向量场结构与弱KAM理论框架。
• 所构建扩散路径上不变（阿布里）集表现出类似于扭转映射中阿布里-梅瑟集的简单几何结构。
• 路径上阿布里集结构的简洁性是证明凸哈密顿系统中阿诺德扩散的关键要素。
• 该方法提供了一个适用于任意自由度下凸近乎可积系统的通用框架。