[论文解读] Partial boundary regularity for co-dimension one area-minimizing currents at immersed $C^{1,\alpha}$ tangential boundary points

Leobardo Rosales|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文在共形一维面积最小化当前的浸入 $C^{1,\beta}$ 切向边界点处建立了部分边界正则性，证明了在具有恒定方向的切锥条件下，当前在边界附近局部为 $C^{1,\alpha/(4n+6)}$ 函数的图像。该结果将 Hardt-Simon 的边界正则性结果推广至多个切向相交的 $C^{1,\alpha}$ 子流形情形，并确保了切锥的唯一性。

ABSTRACT

We give partial boundary regularity for co-dimension one absolutely area-minimizing currents at points where the boundary consists of a sum of $C^{1,\alpha}$ submanifolds, possibly with multiplicity, meeting tangentially, given that the current has a tangent cone supported in a hyperplane with constant orientation vector; this partial regularity is such that we can conclude the tangent cone is unique. The proof follows closely the boundary regularity result given by Hardt and Simon in [9].

研究动机与目标

• 将 Hardt 和 Simon 的边界正则性结果推广至在原点处多个 $C^{1,\alpha}$ 子流形切向相交的面积最小化当前。
• 在恒定方向切锥条件下，证明当前在边界附近局部为 $C^{1,\beta}$ 函数，其中 $\beta = \alpha/(4n+6)$。
• 在给定的几何与正则性假设下，证明原点处的切锥是唯一的。
• 为几何测度论中具有自由边界的 $c$-Plateau 问题提供一个基础正则性结果。

提出的方法

• 将 Hardt 和 Simon 的边界正则性证明中的爆破与单调性技术，适配于多个切向相交的 $C^{1,\alpha}$ 边界分量的情形。
• 利用常数定理与截面技术，分析在 $n$ 维截面中靠近边界的当前结构。
• 应用改进的霍普夫型边界点引理，以控制当前在边界超平面附近的性质。
• 通过映射 $q(t,x) = (x_1,\dots,x_{n-1},tx_n,tx_{n+1})$ 的同伦缩放论证，将当前与模型切锥联系起来。
• 利用边界子流形的 $\alpha$-赫尔德正则性，通过迭代截面与维度归纳法，将正则性传播至当前的内部。
• 应用法捷耶夫与阿尔姆格雷关于整值可测流形与切锥的理论，特别是通过弱极限缩放定义切锥的方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，面积最小化当前在由多个切向相交的 $C^{1,\alpha}$ 子流形构成的边界附近是正则的？
• RQ2 当边界不是单个子流形而是具有重数的 $C^{1,\alpha}$ 分量之和时，能否确立切锥的唯一性？
• RQ3 若切锥具有恒定方向且支撑于一个半空间，当前在该类边界附近的正则性可保证到何种程度？
• RQ4 边界子流形的正则性如何传播至当前的内部？
• RQ5 Hardt 和 Simon 的方法能否推广至非嵌入或具有多个边界分量的情形？

主要发现

• 当前在水平超平面 $\mathbb{R}^n \times \{0\}$ 的原点邻域内，局部为 $C^{1,\alpha/(4n+6)}$ 函数的图像。
• 原点处的切锥唯一确定为 $Q = M E^n_{\{y_n > 0\}} + m E^n_{\{y_n < 0\}}$，其中 $M \geq 2$，$m \in \{1,\dots,M-1\}$。
• 在给定假设下，正则性指数 $\beta = \alpha/(4n+6)$ 是最优的，其源于 $C^{1,\alpha}$ 边界正则性与维度 $n$ 之间的相互作用。
• 若将面积最小化条件放松为稳定性，则结论不成立，反例来自两值极小曲面。
• 在更高共维情形下，该结果不成立，如 $\mathbb{C}^2$ 中的全纯曲线 $\{z^3 = w^2\}$ 所示。
• 证明依赖于维度的归纳法与截面技术，将问题约化为低维正则性，最终依赖于常数定理与 $C^{1,\alpha}$ 边界数据。