[论文解读] Partial clones containing all Boolean monotone self-dual partial functions

Miguel Couceiro, Lucien Haddad+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2015

Advanced Algebra and Logic被引用 10

一句话总结

本文证明了包含所有单调对偶部分函数的布尔集 {0,1} 上的部分克隆区间具有连续统基数。通过构造一个以偶数 k ≥ 4 为指标的函数族，并分析其在关系保持下的闭包性质，作者证明了存在不可数多个不同的部分克隆，包含单调克隆与对偶克隆的交集，从而解决了该问题在结构多样性方面的开放性问题。

ABSTRACT

The study of partial clones on $\\mathbf{2}:=\\{0,1\\}$ was initiated by R. V. Freivald. In his fundamental paper published in 1966, Freivald showed, among other things, that the set of all monotone partial functions and the set of all self-dual partial functions are both maximal partial clones on $\\mathbf{2}$. Several papers dealing with intersections of maximal partial clones on $\\mathbf{2}$ have appeared after Freivald work. It is known that there are infinitely many partial clones that contain the set of all monotone self-dual partial functions on $\\mathbf{2}$, and the problem of describing them all was posed by some authors. In this paper we show that the set of partial clones that contain all monotone self-dual partial functions is of continuum cardinality on $\\mathbf{2}$.

研究动机与目标

• 解决 {0,1} 上所有包含单调对偶部分函数的部分克隆的表征问题。
• 确定包含单调克隆与对偶克隆交集的部分克隆格的基数。
• 通过关系不变量，在区间 [pPol(≤) ∩ pPol(≠), Par(2)] 内构造一个不可数个不同部分克隆的族。
• 通过建立与偶数 ≥ 4 的整数集合的幂集之间的一一对应关系，证明此类部分克隆的集合不可数，而是具有连续统大小。

提出的方法

• 使用 Mal’tsev 的形式化方法与单点扩张，将部分克隆定义为包含所有投影且在复合下封闭的集合。
• 使用关系保持：若函数 f 作用于列属于 ρ 的矩阵的行时，结果仍属于 ρ，则称 f 保持关系 ρ。
• 构造一个 n(k)-元部分函数 g_k，其定义域为矩阵 M_k 及其对偶 M̄_k 的行的并集，g_k 根据行类型分配 0 或 1。
• 对每个偶数 k ≥ 4，定义一个关系 ρ^{n(k)}，使得 g_k 当且仅当 k ≠ k′ 时保持 ρ^{n(k')}，利用矩阵行结构与列约束。
• 通过在子集 X 的补集中对 t 求交，建立偶数 ≥ 4 的子集与区间 [pPol(≤) ∩ pPol(≠), Par(2)] 中部分克隆之间的双射，即 χ(X) = ⋂_{t ∈ E≥4∖X} pPol(ρ^{n(t)})。
• 证明映射 χ(X) = ⋂_{t ∈ E≥4∖X} pPol(ρ^{n(t)}) 是单射，从而推出该区间具有连续统基数。

实验结果

研究问题

• RQ1 有多少个不同的部分克隆在 {0,1} 上包含所有单调对偶部分函数？
• RQ2 此类部分克隆的集合是可数还是不可数？
• RQ3 能否构造一个部分克隆族，使得每个部分克隆唯一对应于一个偶数 ≥ 4 的整数子集？
• RQ4 哪些关系不变量表征了包含单调克隆与对偶克隆的部分克隆？
• RQ5 在余无限集合中对 t 求交 pPol(ρ^{n(t)}) 是否产生唯一一个部分克隆？

主要发现

• 在 {0,1} 上包含所有单调对偶部分函数的部分克隆区间具有连续统基数。
• 对每个偶数 k ≥ 4，构造了一个部分函数 g_k，其定义域为 M_k 及其对偶的行的并集，且 g_k 在每一部分上为常值。
• g_k 当且仅当 k ≠ k′ 时保持关系 ρ^{n(k')}，建立了关键的分离性质。
• 映射 χ: P(E≥4) → [pPol(≤) ∩ pPol(≠), Par(2)] 定义为 χ(X) = ⋂_{t ∈ E≥4∖X} pPol(ρ^{n(t)}) 是单射。
• 由于 P(E≥4) 具有连续统基数，因此区间 [pPol(≤) ∩ pPol(≠), Par(2)] 也具有连续统基数。
• 该构造证实了存在不可数多个不同的部分克隆，包含所有单调对偶部分函数。