[论文解读] Partial (Co)Actions of Multiplier Hopf Algebras: Morita and Galois Theories

Danielle Santos Azevedo, Batista, E.+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文引入了乘子霍普夫代数在非单位元代数上的部分（共）作用，建立了余不变代数 $ R^{\text{co}A} $ 与 smash 积 $ R\#\widehat{A} $ 的子代数之间的莫里塔上下文。主要贡献在于定义了部分伽罗瓦共作用，并证明了连接 smash 积与余不变元的映射 $ \beta $ 的双射性，等价于莫里塔上下文映射的满射性，从而将整体伽罗瓦理论推广到了部分、非单位元的情形。

ABSTRACT

In this work we deal with partial (co)action of multiplier Hopf algebras on not necessarily unital algebras. Our main goal is to construct a Morita context relating the coinvariant algebra $R^{\underline{coA}}$ with a certain subalgebra of the smash product $R\#\widehat{A}$. Besides this we present the notion of partial Galois coaction, which is closely related to this Morita context.

研究动机与目标

• 将部分（共）作用理论从单位元代数推广到非单位元代数，使用乘子霍普夫代数。
• 在余不变代数 $ R^{\text{co}A} $ 与 smash 积 $ R\#\widehat{A} $ 的子代数之间构建莫里塔上下文。
• 定义并研究部分伽罗瓦共作用，作为整体伽罗瓦扩张在部分情形下的推广。
• 建立映射 $ \beta $ 的双射性与莫里塔上下文映射满射性之间的等价性，从而推广经典伽罗瓦理论。

提出的方法

• 在具有积分的正则乘子霍普夫代数 $ A $ 上引入部分 $ A $-余模代数 $ (R, \rho, E) $，其中 $ A $ 为非单位元但具有双边局部单位元。
• 定义 smash 积 $ R\#\widehat{A} $ 与子代数 $ \widehat{A}\cdot R $，后者在莫里塔上下文中起核心作用。
• 构造两个线性映射：$ [\ ,\ ]: (\widehat{A}\cdot R) \otimes_{R^{\text{co}A}} (\widehat{A}\cdot R) \to (\widehat{A}\cdot R)\#\widehat{A} $ 与 $ (\ ,\ ): (\widehat{A}\cdot R) \otimes_{R^{\text{co}A}} (\widehat{A}\cdot R) \to (\widehat{A}\cdot R)\otimes A $，二者构成莫里塔上下文。
• 定义映射 $ \beta: (\widehat{A}\cdot R) \otimes_{R^{\text{co}A}} (\widehat{A}\cdot R) \to ((\widehat{A}\cdot R)\otimes A)E $ 为 $ \beta(x\otimes y) = (x\otimes 1)\rho(y) $，并利用它定义部分伽罗瓦共作用。
• 证明 $ \beta $ 是双射当且仅当映射 $ [\ ,\ ] $ 是满射，利用从 $ ((\widehat{A}\cdot R)\otimes A)E $ 到 $ (\widehat{A}\cdot R)\#\widehat{A} $ 的逆映射 $ \alpha $ 限制在 $ E $ 的像上。
• 利用积分的存在性以及 $ A $ 与 $ \widehat{A} $ 之间的对偶性，确保映射定义良好且非退化，从而支持莫里塔与伽罗瓦理论框架的建立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限维情形下，有限对偶存在局限，如何在非单位元代数上定义乘子霍普夫代数的部分（共）作用？
• RQ2 余不变代数 $ R^{\text{co}A} $ 与 smash 积 $ R\#\widehat{A} $ 中子代数 $ \widehat{A}\cdot R $ 之间的莫里塔上下文结构是什么？
• RQ3 在部分情形下，什么条件能保证莫里塔上下文映射 $ [\ ,\ ] $ 与 $ (\ ,\ ) $ 是双射？
• RQ4 部分伽罗瓦共作用的概念如何与映射 $ \beta $ 的双射性相关联？它如何推广整体伽罗瓦理论？
• RQ5 在部分、非单位元情形下，能否通过乘子霍普夫代数保持作用与共作用之间的对偶性？

主要发现

• 本文在非单位元代数情形下，建立了余不变代数 $ R^{\text{co}A} $ 与 smash 积 $ R\#\widehat{A} $ 中子代数 $ \widehat{A}\cdot R $ 之间的莫里塔上下文，将整体情形推广至部分、非单位元情形。
• 映射 $ \beta: (\widehat{A}\cdot R) \otimes_{R^{\text{co}A}} (\widehat{A}\cdot R) \to ((\widehat{A}\cdot R)\otimes A)E $，定义为 $ \beta(x\otimes y) = (x\otimes 1)\rho(y) $，是构造的核心，且其双射性当且仅当映射 $ [\ ,\ ] $ 是满射。
• 映射 $ [\ ,\ ] $ 的满射性蕴含其双射性，通过存在右模结构及利用逆映射 $ \alpha $ 证明，后者确保在满射性下 $ [\ ,\ ] $ 的单射性。
• 部分伽罗瓦共作用被定义为满足 $ \beta $ 双射性的限制对称部分 $ A $-余模代数，且该条件等价于 $ [\ ,\ ] $ 的满射性，从而推广了整体伽罗瓦对应关系。
• 建立了 $ \beta $ 双射性、$ [\ ,\ ] $ 满射性与 $ (\ ,\ ) $ 双射性之间的等价性，表明莫里塔上下文在此部分情形下完全有效。
• 通过使用具有积分的正则乘子霍普夫代数，框架保持了对偶性与积分性质，确保对偶代数 $ \widehat{A} $ 也是正则乘子霍普夫代数，从而在该推广背景下实现了伽罗瓦理论的构建。