[论文解读] Partial Data Inverse Problems for Nonlinear Magnetic Schrödinger Equations

Ru-Yu Lai, Ting Zhou|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 38被引用 8

一句话总结

本文通过部分边界测量的Dirichlet-to-Neumann映射，建立了非线性磁势和电势在磁Schrödinger方程中的唯一恢复。利用DN映射的高阶线性化方法，以及在边界部分区域上消失的调和函数乘积的稠密性论证，作者证明了在维度 $ n \geq 2 $ 下，向量势 $ A(x,z) $ 和标量势 $ q(x,z) $ 均被部分Dirichlet-to-Neumann数据唯一确定。

ABSTRACT

We prove that the knowledge of the Dirichlet-to-Neumann map, measured on a part of the boundary of a bounded domain in $\mathbb{R}^n, n\geq2$, can uniquely determine, in a nonlinear magnetic Schrödinger equation, the vector-valued magnetic potential and the scalar electric potential, both being nonlinear in the solution.

研究动机与目标

• 解决具有部分边界测量的非线性磁Schrödinger方程的逆边界值问题。
• 从边界子集上测量的Dirichlet-to-Neumann映射，唯一确定非线性向量势 $ A(x,z) $ 和标量势 $ q(x,z) $。
• 将高阶线性化技术扩展至具有解中完全非线性的非线性磁Schrödinger方程。
• 通过利用调和函数乘积的稠密性性质，在最小数据假设（包括部分边界数据）下建立唯一性结果。
• 将现有关于线性和半线性方程逆问题的结果推广至具有规范不变结构的非线性磁情形。

提出的方法

• 通过使用多个边界数据函数对零解附近的小扰动，对Dirichlet-to-Neumann映射应用高阶线性化。
• 利用势 $ A(x,z) $ 和 $ q(x,z) $ 关于解变量 $ z $ 的全纯依赖性，将它们在 $ z $ 上展开为泰勒级数。
• 推导涉及 $ A $ 和 $ q $ 的 $ m $ 阶非线性项的积分恒等式，其与 $ m+1 $ 个调和函数或其导数的乘积配对。
• 在 $ L^p $ 空间中利用调和函数乘积在边界闭真子集上消失的稠密性论证，依赖于Runge型逼近和唯一延拓性。
• 利用最大值原理和小量传播估计（受Kashiwara的西瓜定理启发），建立此类乘积在 $ L^p $ 中的稠密性。
• 应用压缩映射定理求解由线性化系统产生的非线性不动点问题，确保解在 $ W^{2,p} $ 中的存在性与正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从Dirichlet-to-Neumann映射的部分边界测量中唯一恢复非线性磁势 $ A(x,z) $ 和电势 $ q(x,z) $？
• RQ2 高阶线性化技术如何推广至具有解中完全非线性的非线性磁Schrödinger方程？
• RQ3 为从部分数据中唯一确定非线性项，调和函数乘积需要具备何种稠密性性质？
• RQ4 磁势的规范不变性 $ \operatorname{curl} A $ 在非线性情形下对恢复唯一性的影响有多大？
• RQ5 该方法能否被调整以处理不仅为幂次型，而且在解变量 $ z $ 上全纯的非线性项？

主要发现

• 非线性向量势 $ A(x,z) $ 和标量势 $ q(x,z) $ 被边界上任意相对开子集上的Dirichlet-to-Neumann映射唯一确定。
• 唯一性结果适用于维度 $ n \geq 2 $，将先前关于线性方程的结果推广至完全非线性的磁Schrödinger方程。
• 该方法依赖于DN映射的高阶线性化，以及在边界部分区域上消失的 $ m+1 $ 个调和函数乘积在 $ L^p $ 中的稠密性。
• 一项关键技术贡献是证明了在边界正测度子集上消失的调和函数及其梯度乘积的稠密性。
• 非线性Dirichlet问题的解存在，且属于 $ W^{2,p} $，其范数关于边界数据范数线性有界。
• 当数据集为整个边界时，完整边界数据情形作为特例被恢复，此时唯一性由相同论证得出。