[论文解读] Partial data inverse problems for quasilinear conductivity equations

Yavar Kian, Katya Krupchyk+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2020

Numerical methods in inverse problems被引用 6

一句话总结

本文在维度 $ n \geq 2 $ 的情形下，建立了椭圆方程部分数据反问题中拟线性和半线性电导系数的唯一恢复。通过引入一个新颖的 $ L^1 $-密度结果，涉及在边界子集上消失的调和函数梯度乘积，作者证明了即使在数据不完整且电导系数依赖于解及其梯度的情况下，边界上任意开子集上的 Dirichlet-to-Neumann 映射仍能唯一确定非线性电导系数。

ABSTRACT

We show that the knowledge of the Dirichlet-to-Neumann maps given on an arbitrary open non-empty portion of the boundary of a smooth domain in $\mathbb{R}^n$, $n\ge 2$, for classes of semilinear and quasilinear conductivity equations, determines the nonlinear conductivities uniquely. The main ingredient in the proof is a certain $L^1$-density result involving sums of products of gradients of harmonic functions which vanish on a closed proper subset of the boundary.

研究动机与目标

• 解决从部分边界测量中恢复拟线性和半线性电导系数的反问题。
• 将现有反电导率问题的结果扩展到具有不完整数据的非线性、拟线性方程。
• 证明在边界任意开子集上部分 Dirichlet-to-Neumann 映射唯一确定电导系数 $ \gamma(x,u,\omega\cdot\nabla u) $。
• 开发一种新的分析工具——在边界真闭子集上消失的调和函数梯度乘积之和的 $ L^1 $-密度。

提出的方法

• 在复 Banach 空间中使用隐函数定理，建立小 Dirichlet 数据下拟线性方程解的存在性及其关于解的全纯依赖性。
• 在常数边界值处对 Dirichlet-to-Neumann 映射进行一阶线性化，将非线性问题转化为线性反问题。
• 应用一个关于在边界真闭子集上消失的调和函数梯度乘积之和的新 $ L^1 $-密度结果。
• 依赖于电导系数 $ \gamma $ 对解及其梯度的全纯依赖性，其中 $ \gamma(x,\tau,0) = 1 $ 且 $ \gamma(x,0) = 1 $，以确保适定性。
• 利用 Dirichlet-to-Neumann 映射关于边界数据的全纯性，支持解析延拓论证。
• 在线性化后，应用线性反问题的结果（例如 [41], [32]）以恢复底层电导系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从边界上任意开子集上的部分 Dirichlet-to-Neumann 映射唯一确定拟线性电导 $ \gamma(x,u,\omega\cdot\nabla u) $？
• RQ2 在不完整数据下，对于半线性电导 $ \gamma(x,u) $，唯一性结果是否仍成立，即使不假设全纯性？
• RQ3 是否存在一种通用方法，可从不完整边界测量中恢复依赖于解及其梯度的非线性电导？
• RQ4 在边界真子集上消失的调和函数梯度乘积的 $ L^1 $-密度，是否可用于证明反问题中的唯一性？

主要发现

• 即使 $ \Gamma \subset \partial\Omega $ 是边界上任意非空开子集，部分 Dirichlet-to-Neumann 映射 $ \Lambda_{\gamma}^{\Gamma} $ 也能唯一确定 $ \overline{\Omega} \times \mathbb{C} \times \mathbb{C} $ 中的拟线性电导 $ \gamma(x,u,\omega\cdot\nabla u) $。
• 对于半线性电导 $ \gamma(x,u) $，部分 Dirichlet-to-Neumann 映射 $ \Lambda_{\gamma}^{\Gamma} $ 唯一确定 $ \overline{\Omega} \times \mathbb{C} $ 中的 $ \gamma $，将先前的全数据结果推广至部分数据情形。
• 该证明引入了关于在边界真闭子集上消失的调和函数梯度乘积之和的新 $ L^1 $-密度结果，这是唯一性论证的关键。
• 作者建立了在 $ C^{2,\alpha} $ 空间中小 Dirichlet 数据下拟线性方程解的存在性及其全纯依赖性，确保 Dirichlet-to-Neumann 映射的有效性。
• 即使在全数据情形下，该结果对依赖于 $ x, u, \nabla u $ 的拟线性电导系数而言也是全新的，填补了非线性反问题文献中的空白。
• 该方法适用于 $ n \geq 2 $，且在最小正则性假设下成立：边界为 $ C^{\infty} $，电导系数为 $ C^{1,\alpha} $。