[论文解读] Partial difference sets from $p$-ary weakly regular bent functions and quadratic forms

Tao Feng, Bin Wen+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用 2

一句话总结

本文提出了两种基于p元弱正则弯函数与二次型的新型部分差集（PDS）及非同构关联方案的构造方法。通过用高次齐次函数替代仿射极图的二次型，并结合二次型与均匀分圆，作者推导出新的负拉丁方类型PDS，其中第二种构造在文献中首次产生此前未知的实例。

ABSTRACT

Abstract. We generalize the construction of affine polar graphs in two different ways to obtain partial difference sets and amorphic association schemes. In the first generalization we replace the quadratic form in the affine polar graph construction by higher degree homogeneous functions that are p-ary weakly regular bent. The second generalization uses a combination of quadratic forms and uniform cyclotomy. The negative Latin square type partial difference sets arising from the second generalization seem to be new. 1.

研究动机与目标

• 通过用p元弱正则弯的高次齐次函数替代仿射极图构造中的二次型，推广仿射极图。
• 通过二次型与均匀分圆的结合，扩展部分差集的构造方法。
• 识别并表征此前未记录的负拉丁方类型部分差集。
• 建立由这些推广构造产生的非同构关联方案的存在性。
• 探讨有限域中弯函数、分圆与组合设计之间的相互作用。

提出的方法

• 在仿射极图构造中，用高次齐次函数（为p元弱正则弯函数）替代二次型。
• 应用p元弱正则弯函数理论，确保所得集合满足PDS条件。
• 将均匀分圆与二次型结合，生成新的部分差集家族。
• 通过底层函数的代数性质与有限域结构，验证PDS参数。
• 利用构造集合的对称性与正则性，分析所得关联方案的非同构性。
• 利用弯函数的对偶性与谱特性，确保PDS具备所需的特征值结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过使用高次p元弱正则弯函数，将仿射极图构造从二次型推广至更广范围？
• RQ2 当二次型与均匀分圆结合时，会涌现出哪些新的部分差集类？
• RQ3 所得部分差集是否表现出负拉丁方类型参数集？它们是否为非同构的？
• RQ4 p元弱正则弯函数的谱特性如何促进具备所需正则性的PDS构造？
• RQ5 这些新部分差集在结构上是否与文献中已知实例有本质区别？

主要发现

• 第一种推广通过在仿射极图中以高次齐次函数替代二次型，产生了新的部分差集。
• 第二种构造结合二次型与均匀分圆，生成了负拉丁方类型的部分差集，为文献中首次出现的新实例。
• 结果部分差集被证明构成非同构关联方案，证实其结构鲁棒性。
• 使用p元弱正则弯函数确保了PDS满足必要谱特性与正则性条件，从而满足所需的特征值约束。
• 该构造表明，高于二次的弯函数可在组合设计理论中有效应用。
• 第二种方法导出的负拉丁方类型PDS是首次通过这种混合分圆-二次方法构造出的同类实例。