[论文解读] Partial dynamical systems and C*-algebras generated by partial isometries

Ruy Exel, Marcelo Laca+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 126

一句话总结

本文通過將由部分等距生成的 C*-代數實現為阿貝爾 C*-代數的約化交叉積，建立了一個統一框架來分析這些代數。證明了這些 C*-代數的表示的正規性、簡易性以及理想結構由底層部分作用的拓撲自由性與可約性所決定，並將該理論應用於部分群表示、擬格序群的 Toeplitz 代數以及 Cuntz-Krieger 代數。

ABSTRACT

A collection of partial isometries whose range and initial projections satisfy a specified set of conditions often gives rise to a partial representation of a group. The C*-algebra generated by the partial isometries is thus a quotient of the universal C*-algebra for partial representations of the group, from which it inherits a crossed product structure, of an abelian C*-algebra by a partial action of the group. Questions of faithfulness of representations, simplicity, and ideal structure of these C*-algebras can then be addressed in a unified manner from within the theory of partial actions. We do this here, focusing on two key properties of partial dynamical systems, namely amenability and topological freeness; they are the essential ingredients of our main results in which we characterize faithful representations, simplicity and the ideal structure of crossed products. As applications we consider three situations involving C*-algebras generated by partial isometries: partial representations of groups, Toeplitz algebras of quasi-lattice ordered groups, and Cuntz-Krieger algebras. These C*-algebras share a crossed product structure which we give here explicitly and which we use to study them in terms of the underlying partial actions.

研究动机与目标

• 開發一個使用部分作用來分析由部分等距生成的 C*-代數的一般理論。
• 透過底層部分動力系統的性質，特徵化這些 C*-代數的正規表示、簡易性與理想結構。
• 將該理論應用於三類關鍵對象：部分群表示、擬格序群的 Toeplitz 代數，以及 Cuntz-Krieger 代數。
• 提供這些 C*-代數的顯式交叉積實現，從而透過部分作用理論實現結構分析。

提出的方法

• 將群的部分表示的通用 C*-代數構造為阿貝爾 C*-代數上群的部分作用的交叉積。
• 明確以部分等距之間給定關係的形式定義阿貝爾 C*-代數的譜。
• 引入並分析局部緊 Hausdorff 空間上部分作用的拓撲自由性，證明在約化交叉積中理想與阿貝爾代數的非平凡交集。
• 當作用具有拓撲自由性與近似性質時，建立交叉積中的理想與作用下不變理想之間的一一對應關係。
• 利用近似性質確保可約性，從而推出全交叉積與約化交叉積相等。
• 透過在適當空間上構造顯式部分作用，將該框架應用於三種具體情況：部分群表示、推廣的 Toeplitz 代數，以及 Cuntz-Krieger 代數。

实验结果

研究问题

• RQ1 何時由部分等距生成的 C*-代數的表示是正規的？
• RQ2 何種條件可確保關聯交叉積的簡易性？
• RQ3 交叉積中的理想與底層動力系統中不變理想之間有何關係？
• RQ4 在何種條件下，約化交叉積與全交叉積重合？
• RQ5 如何從部分作用的一般原理推導出 Cuntz-Krieger 唯一定理？

主要发现

• 若部分作用在拓撲上自由，則約化交叉積的表示是正規的，當且僅當其在阿貝爾 C*-代數上是正規的。
• 若部分作用具有拓撲自由性且滿足近似性質，則約化交叉積是簡易的。
• 對於具有近似性質且在閉不變子集上具有拓撲自由性的部分作用，交叉積中的理想與不變理想之間存在一一對應關係。
• 由離散群透過部分表示所構造的標準部分作用是拓撲自由的，當且僅當該群是無限的。
• 擬格序群的 Toeplitz C*-代數同構於一個拓撲自由部分作用的交叉積，因此表示是正規的，當且僅當其在對角線上是正規的。
• Cuntz-Krieger 代數 $\mathcal{O}_A$ 同構於自由群在 $n$ 個生成元上的部分作用的交叉積，且 Cuntz 與 Krieger 的條件 (I) 等價於部分作用的拓撲自由性，這透過正規性準則推出 Cuntz-Krieger 唯一定理。