[论文解读] Partial hyperbolicity and attracting regions in 3-dimensional manifolds
本论文研究三维流形上的部分双曲动力系统，重点关注吸引子和同宿类的结构。构造了无全局吸引子的新微分同胚例子，并为某些$$\mathbb{T}^3$$微分同胚建立了动力一致性，证明在部分双曲性下，周期点的同宿类彼此重合，并将非同宿点集表征为两个双曲周期点的稳定与不稳定流形的横截交集。
This thesis attempts to contribute to the study of differentiable dynamics both from a semi-local and global point of view. The center of study is differentiable dynamics in manifolds of dimension 3 where we are interested in the understanding of the existence and structure of attractors as well as dynamical and topological implications of the existence of a global partially hyperbolic splitting. The main contributions are new examples of dynamics without attractors where we get a quite complete description of the dynamics around some wild homoclinic classes and two results on dynamical coherence of partially hyperbolic diffeomorphisms of $\TT^3$.
研究动机与目标
- 理解在部分双曲性下，三维流形中吸引子的存在性与拓扑结构。
- 在无全局吸引子的情况下，分析野性同宿类周围的动力行为。
- 建立$$\mathbb{T}^3$$上部分双曲微分同胚实现动力一致性的条件。
- 以周期点的稳定与不稳定流形为基准，表征给定周期点同宿类之外的点集。
提出的方法
- 通过在小邻域内支持的局部微分同胚对$$C^r$$-扰动进行构造，以改变轨道结构。
- 应用$$\lambda$$-引理分析不稳定流形的$$C^1$$极限，推导出横截交集。
- 利用双曲集的局部极大性，确保在小扰动下交集性质的鲁棒性。
- 通过周期点的稳定与不稳定流形结构及其交集分析动力行为。
- 运用横截性论证与余维一子流形理论，研究具有特定交集性质的微分同胚集合。
- 利用孤立性与稠密性论证，证明不属于$$p$$同宿类的点必位于$$W^s(q) \cap W^u(p)$$中。
实验结果
研究问题
- RQ1在何种条件下，$$\mathbb{T}^3$$上的部分双曲微分同胚具有动力一致性？
- RQ2在具有全局部分双曲分裂的三维流形中，非吸引、非同宿区域的结构如何？
- RQ3在无全局吸引子的情况下，两个双曲周期点的稳定与不稳定流形如何相互作用？
- RQ4在部分双曲性下，周期点的同宿类能否表征为周期轨道的闭包？
- RQ5在同宿类的背景下，集合$$W^s(q) \cap W^u(p)$$的拓扑与动力学意义为何？
主要发现
- 若稳定指标为2，则链递归集$$\mathcal{C}$$中任意双曲周期点的同宿类与$$p$$的同宿类重合。
- 对于稳定指标为1的周期点，其同宿类与$$q$$的同宿类重合，表明其与$$q$$存在同宿关系。
- $$\mathcal{C} \setminus H_f$$恰好为$$W^s(q) \cap W^u(p)$$，且这些点在$$\mathcal{C}$$中孤立，意味着它们不是同宿类中周期轨道的极限点。
- $$p$$与$$q$$的同宿类重合，因为每个同宿类在另一个的类中稠密，且通过横截交集与周期点的稠密性实现。
- 使得$$W^{uu}_{loc}(f^n(x))$$在$$n$$较大时与$$W^s(p)$$相交的微分同胚集合构成一个剩余集，表明其为典型动力行为。
- 具有$$f^n(W^{uu}_{loc}(p))$$与$$W^{ss}_{loc}(q)$$横截交集的微分同胚集合$$\mathcal{D}$$是可数个余维一子流形的并集，表明对大$$n$$而言，其交集具有典型非存在性。
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