[论文解读] Partial hyperbolicity and pseudo-Anosov dynamics

Sérgio R. Fenley, Rafaël Potrie|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 4

一句话总结

本文证明了每个允许部分双曲微分同胚的闭双曲3-流形也支持一个Anosov流，通过其中心（分支）叶状和坍缩Anosov流的概念，对双曲和Seifert 3-流形中的此类微分同胚进行了完整分类。关键贡献在于将动力共轭性与伪-Anosov动力系统联系到Anosov流的存在性，从而解决了三维动力系统中长期存在的分类问题。

ABSTRACT

We show that if a hyperbolic 3-manifold admits a partially hyperbolic diffeomorphism then it also admits an Anosov flow. Moreover, we give a complete classification of partially hyperbolic diffeomorphism in hyperbolic 3-manifolds as well as partially hyperbolic diffeomorphisms in Seifert manifolds inducing pseudo-Anosov dynamics in the base. This classification is given in terms of the structure of their center (branching) foliations and the notion of collapsed Anosov flows.

研究动机与目标

• 解决闭双曲3-流形和Seifert流形中部分双曲微分同胚的分类问题。
• 通过将其与Anosov流联系起来，建立部分双曲微分同胚存在的拓扑障碍。
• 引入并应用坍缩Anosov流的概念，以统一和推广现有模型，特别是在动力不共轭的情形下。
• 表征中心（分支）叶状及其视觉测度与伪-Anosov动力系统之间的关系。

提出的方法

• 使用具有不变分解 $TM = E^s \oplus E^c \oplus E^u$ 的部分双曲微分同胚理论及 $Df^\ell$-压缩/扩张条件。
• 应用双曲几何分析在万有覆盖中叶的理想边界上，轨形变换的作用。
• 利用 [BFFP] 和 [Fen4] 中关于非外围曲线存在轴线和无穷远点固定点的结果。
• 使用拟等距论证，表明某些测地线射线及其在轨形变换下的像之间形成有界角度。
• 运用视觉测度和粗几何分析无穷远圆周上的作用动力系统。
• 通过提升和有限覆盖技术将问题约化为 $\mathbb{R}$-覆盖、一致叶状的情形，以应用定理5.6。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种拓扑条件下，闭双曲3-流形会允许存在部分双曲微分同胚？
• RQ2 能否利用双曲3-流形中部分双曲微分同胚的存在性，在同一流形上构造出Anosov流？
• RQ3 中心（分支）叶状的结构与动力系统如何与Seifert和双曲3-流形中Anosov流的存在性相关？
• RQ4 坍缩Anosov流在何种意义上推广了叶共轭和Anosov流的时间一映射的概念？
• RQ5 动力共轭性（或缺乏共轭性）在3-流形中部分双曲微分同胚分类中起什么作用？

主要发现

• 每个允许部分双曲微分同胚的闭双曲3-流形也允许存在Anosov流，确立了强有力的拓扑障碍。
• 双曲3-流形中的部分双曲微分同胚完全通过其中心叶状和坍缩Anosov流的概念进行分类。
• 在基底上具有伪-Anosov动力系统的Seifert流形中，中心与强稳定叶状在中心-稳定叶状的叶内部具有小的视觉测度。
• 轨形变换在叶的理想边界上的作用具有固定点，这些固定点要么是超吸引的，要么是超排斥的，这是关键的几何约束。
• 在许多情况下，动力不共轭是不可避免的，如存在 $\mathbb{R}$-覆盖、一致叶状且叶空间上具有平移作用的实例所示。
• 结果推广了关于Anosov流时间一映射的先前工作，并将框架扩展至包含非动力共轭系统。