[论文解读] Partial Isometries, Duality, and Determinantal Point Processes

Makoto Katori, Tomoyuki Shirai|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 60被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，利用部分等距和对偶性，在希尔伯特空间 $L^2(S_\nu, \lambda_\nu)$ 上构造行列式点过程（DPP）对，$\nu=1,2$，表明若有界线性算子 $\mathcal{W}: H_1 \to H_2$ 属于局部希尔伯特-施密特类的部分等距，则 $\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ 唯一地生成一个 DPP；若 $\mathcal{W}^*$ 同样属于局部希尔伯特-施密特类，则会涌现出一对对偶 DPP，揭示了新的结构对称性，并为通用 DPP 家族提供了多种核表示形式。

ABSTRACT

A determinantal point process (DPP) is an ensemble of random nonnegative-integer-valued Radon measures $Ξ$ on a space $S$ with measure $λ$, whose correlation functions are all given by determinants specified by an integral kernel $K$ called the correlation kernel. We consider a pair of Hilbert spaces, $H_{\ell}, \ell=1,2$, which are assumed to be realized as $L^2$-spaces, $L^2(S_{\ell}, λ_{\ell})$, $\ell=1,2$, and introduce a bounded linear operator ${\cal W} : H_1 o H_2$ and its adjoint ${\cal W}^{\ast} : H_2 o H_1$. We show that if ${\cal W}$ is a partial isometry of locally Hilbert--Schmidt class, then we have a unique DPP on $(Ξ_1, K_1, λ_1)$ associated with ${\cal W}^* {\cal W}$. In addition, if ${\cal W}^*$ is also of locally Hilbert--Schmidt class, then we have a unique pair of DPPs, $(Ξ_{\ell}, K_{\ell}, λ_{\ell})$, $\ell=1,2$. We also give a practical framework which makes ${\cal W}$ and ${\cal W}^{\ast}$ satisfy the above conditions. Our framework to construct pairs of DPPs implies useful duality relations between DPPs making pairs. For a correlation kernel of a given DPP our formula can provide plural different expressions, which reveal different aspects of the DPP. In order to demonstrate these advantages of our framework as well as to show that the class of DPPs obtained by this method is large enough to study universal structures in a variety of DPPs, we report plenty of examples of DPPs in one-, two-, and higher-dimensional spaces $S$, where several types of weak convergence from finite DPPs to infinite DPPs are given. One-parameter ($d \in \mathbb{N}$) series of infinite DPPs on $S=\mathbb{R}^d$ and $\mathbb{C}^d$ are discussed, which we call the Euclidean and the Heisenberg families of DPPs, respectively, following the terminologies of Zelditch.

研究动机与目标

• 建立一种在希尔伯特空间之间使用有界线性算子构造对偶行列式点过程（DPP）对的一般方法。
• 识别出单个算子 $\mathcal{W}$ 如何从 $\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ 唯一生成 DPP，以及如何通过 $\mathcal{W}$ 和 $\mathcal{W}^*$ 同时生成对偶 DPP 对的条件。
• 证明该框架可为同一 DPP 提供多种非等价的核表示形式，揭示隐藏的结构对称性。
• 通过在 $\mathbb{R}^d$ 和 $\mathbb{C}^d$ 中构造无限 DPP，展示该方法的广泛应用性，包括欧几里得族与海森堡族。

提出的方法

• 该框架使用希尔伯特空间 $H_\nu = L^2(S_\nu, \lambda_\nu)$ 之间的有界线性算子 $\mathcal{W}: H_1 \to H_2$，并假设 $\mathcal{W}$ 属于局部希尔伯特-施密特类的部分等距。
• 通过相关核 $K_1 = \mathcal{W}^*\mathcal{W}$ 在 $S_1$ 上构造一个 DPP，确保该核为迹类且正定。
• 当 $\mathcal{W}^*$ 同样属于局部希尔伯特-施密特类时，会在 $S_2$ 上生成一个对偶 DPP，其核为 $K_2 = \mathcal{W}\mathcal{W}^*$，从而在两个过程之间建立对偶关系。
• 该方法利用 $\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ 和 $\mathcal{W}\mathcal{W}^*$ 的谱性质，通过积分核的行列式定义相关函数。
• 该框架通过利用对偶性，使同一 DPP 可以拥有多种不同的核表示形式，从而揭示其不同的几何与代数特征。
• 通过一维、二维及高维空间中的显式例子验证了该构造，包括从有限 DPP 到无限 DPP 的弱收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 单个有界线性算子 $\mathcal{W}$ 是否能通过 $\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ 在空间 $S_1$ 上生成一个 DPP，同时通过 $\mathcal{W}\mathcal{W}^*$ 在 $S_2$ 上生成一个对偶 DPP？
• RQ2 哪些算子理论条件可确保 $\mathcal{W}^*\mathcal{W}$ 唯一地生成一个 DPP，且 $\mathcal{W}$ 与 $\mathcal{W}^*$ 共同生成一对对偶 DPP？
• RQ3 DPP 之间的对偶关系如何揭示同一相关核的多种非等价表达形式？
• RQ4 该框架可构造哪些类型的通用 DPP 家族，特别是在欧几里得空间与复空间中？
• RQ5 该框架能否描述 $\mathbb{R}^d$ 和 $\mathbb{C}^d$ 中从有限 DPP 到无限 DPP 的弱收敛性？

主要发现

• 当 $\mathcal{W}: H_1 \to H_2$ 为局部希尔伯特-施密特类的部分等距时，可在 $S_1$ 上唯一构造一个 DPP，其相关核为 $K_1 = \mathcal{W}^*\mathcal{W}$。
• 若 $\mathcal{W}^*$ 同样为局部希尔伯特-施密特类，则在 $S_2$ 上会生成一个对偶 DPP，其核为 $K_2 = \mathcal{W}\mathcal{W}^*$，从而在两个点过程之间建立起对偶关系。
• 该框架允许同一 DPP 拥有多种不同的核表示形式，通过对偶性揭示了其不同的结构与几何特征。
• 该方法在 $\mathbb{R}^d$ 和 $\mathbb{C}^d$ 上生成了一族一维参数的无限 DPP，分别称为欧几里得族与海森堡族，遵循泽利奇奇的术语命名。
• 该框架支持在一维、二维及高维空间中，从有限 DPP 到无限 DPP 的弱收敛性，展现出广泛的应用潜力。
• 在 $\mathbb{R}^d$ 和 $\mathbb{C}^d$ 中的显式例子验证了通过算子理论构造可实现通用 DPP 结构。