[论文解读] Partial Komori fields and imperative Komori fields

J.A. Bergstra, C.A. Middelburg|ArXiv.org|Sep 29, 2009

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文通過指令式Komori域的概念，探討數學家如何處理除以零（$1/0$）的問題，該概念形式化了一種常規慣例，即$1/0$被禁止而非未定義。文章主張，即使使用McCarthy的連接詞和Bochvar的量詞，部分函數的邏輯也無法完全捕捉數學實踐，因為這些邏輯無法以符合實際數學推理的方式排除$1/0$的無效使用。

ABSTRACT

This paper is concerned with the status of 1/0 and ways to deal with it. These matters are treated in the setting of Komori fields, also known as non-trivial cancellation meadows. Different viewpoints on the status of 1/0 exist in mathematics and theoretical computer science. We give a simple account of how mathematicians deal with 1/0 in which a customary convention among mathematicians plays a prominent part, and we make plausible that a convincing account, starting from the popular computer science viewpoint that 1/0 is undefined, by means of some logic of partial functions is not attainable.

研究动机与目标

• 釐清數學界對$1/0$的普遍慣例，即其被視為禁止而非未定義。
• 調查部分函數的邏輯是否能令人信服地模擬數學家在實踐中對$1/0$的推理方式。
• 形式化「指令式Komori域」的概念，作為理解此慣例的框架。
• 評估三值邏輯（特別是具備McCarthy連接詞與Bochvar量詞者）在模擬涉及未定義表達式的數學推理方面的充分性。
• 證明即使最合理的部分函數邏輯，也無法完全與數學實踐在處理$1/0$時的邏輯一致。

提出的方法

• 引入部分Komori域作為結構，其中除法為部分函數，以模擬電腦科學觀點中$1/0$為未定義的觀念。
• 定義指令式Komori域為在Komori域上增加禁止在表達式中使用$1/0$的慣例的結構。
• 應用三值邏輯（Bochvar、Kleene、McCarthy）來評估涉及$1/0$的公式，專注於真值與量詞行為。
• 使用弱等價與二值邏輯慣例來過濾掉具有非布林真值的公式，以期與數學實踐一致。
• 比較不同邏輯中關鍵公式的真值（例如$0 \neq 0 \to 0/0 = 1$），以評估其與數學直覺的一致性。
• 提出${\mathcal{L}_{\mathrm{PMd}}}$，即結合McCarthy連接詞、Bochvar量詞與二值邏輯慣例的部分m種田（meadows）邏輯，作為最接近數學推理的近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 數學家在數學實踐中如何慣常處理表達式$1/0$？
• RQ2 部分函數的邏輯是否能充分模擬數學家對$1/0$的推理方式？
• RQ3 「指令式」慣例在形式化數學中對未定義表達式的實踐中扮演何種角色？
• RQ4 不同三值邏輯（Bochvar、Kleene、McCarthy）如何評估涉及$1/0$的公式？
• RQ5 為何即使最精緻的部分函數邏輯，仍無法提供對數學家處理$1/0$推理的令人信服解釋？

主要发现

• 數學家不為$1/0$賦予任何意義；相反，他們透過一種慣例禁止其使用，此慣例被形式化為指令式Komori域。
• 公式$0 \neq 0 \to 0/0 = 1$在數學實踐中被視為真，此點由McCarthy與Kleene的連接詞正確捕捉，但未被Bochvar捕捉。
• 儘管具有優勢，${\mathcal{L}_{\mathrm{PMd}}}$（使用McCarthy連接詞與Bochvar量詞）仍將$0=0 \lor 0/0=1$的真值賦為${\mathsf{T}}$，這與數學實踐矛盾。
• ${\mathcal{L}_{\mathrm{PMd}}}$無法排除$1/0$的無效使用，顯示任何部分函數邏輯均無法完全捕捉數學推理中非正式但一致的慣例。
• 二值邏輯慣例（禁止具有非布林真值的句子）無法解決問題，因其無法阻止語義無效公式的接受。
• 因此，本文結論為，即使加入強大的語義約束，任何部分函數邏輯均無法為數學家處理$1/0$的方式提供令人信服的解釋。