[论文解读] Partial monoids: associativity and confluence

Laurent Poinsot, Gérard Duchamp+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2010

semigroups and automata theory参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文建立了偏幺半群中的结合律与相关字符串重写系统中的并归性之间的精确对应关系。通过引入左标准约化策略，确保唯一规范形的存在，并证明由此诱导的规范形上的乘法运算具有结合律，当且仅当重写系统是并归的，从而将代数结合律与计算并归性联系起来。

ABSTRACT

A partial monoid $P$ is a set with a partial multiplication $ imes$ (and total identity $1_P$) which satisfies some associativity axiom. The partial monoid $P$ may be embedded in a free monoid $P^*$ and the product $\star$ is simulated by a string rewriting system on $P^*$ that consists in evaluating the concatenation of two letters as a product in $P$, when it is defined, and a letter $1_P$ as the empty word $ε$. In this paper we study the profound relations between confluence for such a system and associativity of the multiplication. Moreover we develop a reduction strategy to ensure confluence and which allows us to define a multiplication on normal forms associative up to a given congruence of $P^*$. Finally we show that this operation is associative if, and only if, the rewriting system under consideration is confluent.

研究动机与目标

• 研究偏幺半群中的结合律与其相关字符串重写系统之间深层联系。
• 开发一种约化策略，即使原始重写系统不具并归性，也能保证唯一规范形的存在。
• 在规范形上定义一个总二元运算，该运算在幺半群同余下具有结合律。
• 证明该运算具有结合律，当且仅当其底层重写系统是并归的。
• 为具有错误的顺序程序提供一个计算模型，其中仅定义的乘积被求值，错误被隔离为不可计算的子项。

提出的方法

• 将偏幺半群 $P$ 嵌入自由幺半群 $P^*$，以将程序建模为字串。
• 在 $P^*$ 上定义一个字符串重写系统 $R$，将定义良好的乘积 $x \times y$ 作为单个字母求值，并将单位元 $1_P$ 约化为 $\epsilon$。
• 引入左标准约化策略，通过优先进行定义乘积的最左约化，确保唯一规范形的存在。
• 从不可约字串构造一个非结合的赝群 $({\mathsf{Irr}}(P), \star)$，并定义一个求值同态映射，将项映射到规范形运算。
• 使用第二个重写系统 $\Rightarrow_{\mathsf{Ass}}$ 模拟结合律移动，其模型基于范畴论中的五边形恒等式。
• 通过分析临界对并证明其收敛性等价于 $\star$ 的结合律，从而证明重写系统 $R$ 的并归性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，与偏幺半群相关联的字符串重写系统是并归的？
• RQ2 当重写系统不具并归性时，是否能为 $P^*$ 中的字串一致地定义唯一规范形？
• RQ3 在规范形上定义的二元运算 $\star$ 具有结合律，当且仅当重写系统是并归的吗？
• RQ4 重写系统中临界对的结构如何与偏幺半群中结合律的破坏相关联？
• RQ5 在多大程度上，可以通过其相关重写系统的并归性来刻画偏幺半群中代数结合律的性质？

主要发现

• 规范形上的运算 $\star$ 具有结合律，当且仅当字符串重写系统 $R$ 是并归的。
• 左标准约化策略确保每个字串都有唯一规范形，即使 $R$ 不具并归性。
• $R$ 的并归性等价于不存在类型 (A0) 的临界对，这些临界对对应于结合律的破坏。
• 求值同态 $\mathsf{ev}$ 在 $\Rightarrow_{\mathsf{Ass}}^*$ 下保持等价性，意味着不同的括号化方式在 Thue 同余下产生等价结果。
• 当 $R$ 是并归时，规范形集合 $\mathsf{Irr}(P)$ 同构于 $P^* / \Leftrightarrow_R^*$，从而建立范畴等价。
• 该构造推广了范畴论中幺半群的协调性定理，使用括号移动系统来模拟结合律。