[论文解读] Partial Probability and Kleene Logic

Maurizio Negri|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2013

Advanced Algebra and Logic参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过值格与DMF-代数统一了集合论与语言学的概率方法，引入了克林三值逻辑中的部分概率。它建立了基于事件与基于公式的概率之间的相互转换，证明了部分事件的弱形式贝叶斯定理，并为不完全信息下的不确定性推理提供了代数基础。

ABSTRACT

There are two main approach to probability, one of set-theoretic character where probability is the measure of a set, and another one of linguistic character where probability is the degree of confidence in a proposition. In this work we give an unified algebraic treatment of these approaches through the concept of valued lattice, obtaining as a by-product a translation between them. Then we introduce the concept of partial valuation for DMF-algebras (De Morgan algebras with a single fixed point for negation), giving an algebraic setting for probability of partial events. We introduce the concept of partial probability for propositions, substituting classical logic with Kleene's logic. In this case too we give a translation between set-theoretic and linguistic probability. Finally, we introduce the concept of conditional partial probability and prove a weak form of Bayes's Theorem.

研究动机与目标

• 通过基于值格的代数结构统一经典与语言学概率方法。
• 利用具有单一否定固定点的德摩根代数（DMF-代数）将概率理论扩展至部分事件。
• 在克林三值逻辑中构建部分概率的形式框架，取代经典逻辑。
• 在经典与部分设定下，建立基于事件与基于公式的概率之间的双向转换。
• 形式化条件部分概率，并证明部分事件的弱形式贝叶斯定理。

提出的方法

• 使用值格作为概率的一般代数框架，其中赋值满足模方程 $ v(a \vee b) = v(a) + v(b) - v(a \wedge b) $。
• 将布尔赋值定义为布尔代数上的可加函数，满足 $ v(1) = 1 $ 且 $ v(a \wedge b) = 0 \Rightarrow v(a \vee b) = v(a) + v(b) $。
• 在DMF-代数上引入部分赋值，为元素分配对 $ (x,y) \in [0,1]^2 $，其运算尊重克林逻辑连接词。
• 通过从自由DMF-代数到事件代数的同态，构建从 $ \mathcal{G}_A $ 中的部分事件到命题语言公式的转换。
• 定义部分概率函数 $ \pi: F \to [0,1]^2 $，满足基于克林逻辑的公理，包括 $ \pi(\neg \alpha) = \sigma(\pi(\alpha)) $，其中 $ \sigma(x,y) = (y,x) $。
• 应用表示定理构造部分概率函数 $ \pi(\alpha) = \overline{v}(|\alpha|) $，其中 $ \overline{v} $ 是由部分事件上的测度 $ \mu $ 导出的部分赋值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过值格代数地统一集合论与语言学的概率方法？
• RQ2 推理部分事件的适当逻辑框架是什么？它与经典逻辑有何不同？
• RQ3 能否将部分事件上的概率测度转换为多值逻辑中公式上的概率函数？
• RQ4 部分概率的代数结构是什么？它如何扩展经典概率理论？
• RQ5 在所提出的框架下，部分事件是否成立弱形式的贝叶斯定理？

主要发现

• 通过命题语言的林登鲍姆代数上的赋值 $ \overline{v} $ 定义了克林逻辑中公式上的部分概率函数 $ \pi $，其满足推广经典概率的公理。
• 从部分事件 $ (X,Y) \in \mathcal{G}_A $ 到公式 $ \alpha \in \overline{\tau}(X,Y) $ 的转换确保 $ \mu(X,Y) = \pi(\alpha) $，建立了从一到多的对应关系。
• 本文证明了 $ \pi(\alpha \vee \beta) = \pi(\alpha) + \pi(\beta) - \pi(\alpha \wedge \beta) $，在部分设定下保持了概率的模性质。
• 建立了 $ \pi(\neg \alpha) = \sigma(\pi(\alpha)) $，其中 $ \sigma(x,y) = (y,x) $，反映了克林逻辑的对偶性。
• 为条件部分概率推导出弱形式的贝叶斯定理，将经典贝叶斯推理扩展至不完全或中间真值的情形。
• 通过构造 $ \overline{v} = \mu \circ \eta $，其中 $ \eta $ 是从自由DMF-代数到事件代数的同态，确保了部分概率函数的良定义性与与测度 $ \mu $ 的一致性。