[论文解读] Partial-realization theory and algorithms for linear switched systems: A formal power series approach

Mihály Petreczky, Jan H. van Schuppen|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2010

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 47被引用 3

一句话总结

该论文基于有理形式幂级数，为线性切换系统（LSS）建立了部分实现理论与算法。提出了两种算法——基于Hankel矩阵列提取与矩阵分解——用于计算最小部分实现，当Hankel矩阵的秩稳定时，可收敛至完整的最小实现。

ABSTRACT

The paper presents partial-realization theory and realization algorithms for linear switched systems. Linear switched systems are a particular subclass of hybrid systems. We formulate a notion of a partial realization and we present conditions for existence of a minimal partial realization. We propose two partial-realization algorithms and we show that under certain conditions they yield a complete realization. Our main tool is the theory of rational formal power series.

研究动机与目标

• 为线性切换系统（LSS）建立形式化的部分实现理论，将经典实现理论扩展至混合系统。
• 解决从有限输入-输出数据中识别最小LSS模型的挑战，适用于系统辨识与模型降阶。
• 证明有理形式幂级数理论为推导LSS实现算法提供了稳健的框架。
• 为将部分实现理论扩展至更广泛的混合系统类别（包括带守卫的分段仿射系统）奠定基础。
• 弥合理论形式化与实际算法设计之间的鸿沟，尤其针对LSS中的子空间辨识类方法。

提出的方法

• 将LSS的输入-输出行为表述为有理形式幂级数族，利用LSS与此类级数之间的对应关系。
• 将输入-输出映射的Hankel矩阵定义为相应形式幂级数族的Hankel矩阵。
• 提出算法1，通过从Hankel矩阵的有限子矩阵中选择列来构建部分实现。
• 提出算法2，通过有限Hankel子矩阵的分解计算部分实现，确保与算法1同构。
• 以有限Hankel子矩阵的秩稳定（即 rank(H_{Φ,N,N}) = rank(H_{Φ,N+1,N}) = rank(H_{Φ,N,N+1})）作为收敛至完整最小实现的停止准则。
• 利用形式幂级数的理论结果，推导出部分实现为最小且完整时的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，给定的线性切换系统存在最小部分实现？
• RQ2 有理形式幂级数的结构能否用于推导LSS部分实现的构造性算法？
• RQ3 如何利用有限Hankel子矩阵的秩来判断部分实现何时成为完整的最小实现？
• RQ4 所提出的有理形式幂级数框架在多大程度上可扩展至更一般的混合系统（如分段仿射系统）？
• RQ5 广义Markov参数与LSS实现之间存在何种关系？如何从数据中估计它们？

主要发现

• 所提出的部分实现算法（算法1与算法2）在应用于相同输入-输出数据时，可产生同构的最小实现。
• 当有限Hankel子矩阵的秩稳定时，即当 rank(H_{Φ,N,N}) = rank(H_{Φ,N+1,N}) = rank(H_{Φ,N,N+1}) 时，可获得输入-输出行为的最小完整实现。
• 对于任意满足 N+1 等于输入-输出映射潜在最小实现维数的 N，算法均可返回最小LSS实现。
• 有理形式幂级数理论提供了一个统一框架，可推导出LSS的部分实现结果，并可能推广至其他混合系统。
• 该方法可扩展至通过矩匹配实现的模型降阶，其中可构造一个低阶LSS作为有限个广义Markov参数序列的部分实现。
• 该框架支持对LSS空间的几何与拓扑分析，支持距离度量与参数辨识工具的构建。