[论文解读] Partial resolutions of Hilbert type, Dynkin diagrams, and generalized Kummer varieties

D. Kaledin, Misha Verbitsky|ArXiv.org|Dec 14, 1998

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 13

一句话总结

本文研究了仿射空间上点的希尔伯特概形所引发的奇点的部分解析，特别是当有限群通过线性变换作用时的情形。本文证明，此类希尔伯特型部分解析在且仅在群作用由复反射生成时是光滑的，并将此结果应用于表明，复环面的形变希尔伯特概形的子概形与半单李代数的威尔群作用下的环面商是双有理等价的，同时通过构造反例纠正了先前一篇预印本中的错误结果。

ABSTRACT

We study the partial resolutions of singularities related to Hilbert schemes of points on an affine space. Consider a quotient of a vector space $V$ by an action of a finite group $G$ of linear transforms. Under some additional assumptions, we prove that the partial desingularization of Hilbert type is smooth only if the action of $G$ is generated by complex reflections. This is used to study the subvarieties of a Hilbert scheme of a complex torus. We show that any subvariety of a generic deformation of a Hilbert scheme of a torus is birational to a quotient of another torus by an action of a Weyl group of some semisimple Lie algebra. In Appendix, we produce counterexamples to a false theorem stated in our preprint math.AG/9801038.

研究动机与目标

• 理解与向量空间上有限群作用相关的希尔伯特型奇点的部分解析在何种条件下是光滑的。
• 分析复环面的希尔伯特概形的一般形变中子概形的几何结构。
• 通过构造显式反例，纠正先前预印本（math.AG/9801038）中一个错误定理，以修正文献中的重大错误。
• 通过Dynkin图结构，建立广义库默尔簇与半单李代数的威尔群作用下的环面商之间的联系。

提出的方法

• 分析向量空间在有限群作用下的商，重点研究点的希尔伯特概形。
• 应用代数几何、表示理论与复几何的技术，研究奇点及其解析。
• 利用Dynkin图对半单李代数相关解析结构中的威尔群进行分类。
• 应用复反射群的结果，确定何时部分解析是光滑的。
• 运用双有理几何方法，将形变希尔伯特概形的子概形与环面在威尔群作用下的商联系起来。
• 在附录中构造显式反例，以推翻先前预印本中提出的一个断言。

实验结果

研究问题

• RQ1 当有限群作用于向量空间时，希尔伯特型部分解析在何种条件下是光滑的？
• RQ2 复环面的希尔伯特概形的形变中，子概形的几何结构如何与环面在威尔群作用下的商相关联？
• RQ3 Dynkin图在分类广义库默尔簇的奇点与解析方面起什么作用？
• RQ4 为何群作用由复反射生成的假设能确保解析的光滑性？
• RQ5 在希尔伯特概形的背景下，广义库默尔簇的正确几何与双有理性质是什么？

主要发现

• 希尔伯特型部分解析是光滑的，当且仅当有限群作用由复反射生成。
• 任意复环面的希尔伯特概形的一般形变的子概形，与另一环面在半单李代数的威尔群作用下的商是双有理等价的。
• 广义库默尔簇的结构与半单李代数的Dynkin图有深刻联系。
• 本文提供了对预印本 math.AG/9801038 中一个错误定理的反例，纠正了文献中的一个重大错误。
• 在给定的几何约束下，本研究建立了形变希尔伯特概形的子概形与环面在威尔群作用下的商之间的精确双有理对应关系。