[论文解读] Partial weight one modularity for Galois representations associated to mod $p$ Hilbert modular forms

Hanneke Wiersema|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2026

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 0

一句话总结

本文证明，对于一个 irreducible mod p 表示的全实数域的伪同构性，关于不规则部分权重为一的 Hilbert 模块形式的模性等价于具有指定 Hodge–Tate 权重的晶体提升的存在，前提是猜想性和技术假设。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime. Let $ρ: G_F o \mathrm{GL}_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$ be a Galois representation of a totally real field $F$. For a small partial weight one weight $(k,0)$, we prove that modularity of $ρ$ can be characterised using $p$-adic Hodge theory, as conjectured by Diamond and Sasaki. We show that if $ρ$ is modular with respect to a partial weight one mod $p$ Hilbert modular form, then each of its local representations has a crystalline lift with prescribed Hodge--Tate weights. Conversely, if for each $v|p$ the restriction $ρ|_{G_{F_v}}$ has a crystalline lift with certain irregular weights, we show that $ρ$ arises from a partial weight one Hilbert modular form. Our method consists of translating results from regular to irregular weights. We do this globally, relating modularity of regular weights to modularity of irregular weights and vice versa, and also use the local, $p$-adic Hodge theory analogue of this, which is recent work of the author.

研究动机与目标

• 在 partial weight one 情景下为 mod p Galois 表示提出模性准则的动机。
• 通过 p-adic Hodge 理论将几何模性与处于 p 的位置的晶体提升联系起来，给出模性表征。
• 在 Hilbert 模块设定中，将 Diamond–Sasaki 风格的权重传递从规则权重拓展到不规则权重。

提出的方法

• 使用部分 Hasse 不变量和部分 Theta 算子等权重移动工具，将结果从规则权重翻译到不规则权重。
• 构造不规则权重的规则权重对偶形式，以在全局和局部层面上传递模性信息。
• 通过明确的权重变换将不规则权重的几何模性与规则权重的模性联系起来。
• 使用局部 p-adic Hodge 理论，将不规则权重的晶体可提升性等同于对应规则权重的晶体可提升性。
• 调用 Gee–Liu–Savitt 的结果，将晶体可提升性与代数模性相连，再与几何模性相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个 irreducible 的 mod p Galois 表示何时来自 partial weight one 的 Hilbert 模块形式？
• RQ2 对于 Diamond–Sasaki 的猜想，不规则权重是否可以通过具有规定 Hodge–Tate 权重的晶体提升来表征模性？
• RQ3 如何利用 Hasse 不变量和 Theta 算子在不规则权重与规则权重之间传递模性？
• RQ4 在额外条件下，不规则权重的几何模性是否推出与其他相关权重的模性？
• RQ5 在这个背景下，局部–全局的一致性原理如何支配在 p 处以上的地方晶体提升性？

主要发现

• 若 ρ 是不可约并且相对于某个 partial weight one mod p Hilbert 模块形式 是模的，则每个局部表示 ρ|GFv 都具有具有规定权重的晶体提升。
• 相反地，如果对每个 v|p，限制 ρ|GFv 有某些不规则权重的晶体提升，则 ρ 来自 partial weight one Hilbert 模块形式。
• 该方法通过部分 Hasse 不变量和部分 Theta 算子，将模性陈述从规则权重翻译到不规则权重，反之亦然。
• 在包括 Buzzard–Diamond–Jarvis 猜想以及对规则权重的代数模性与几何模性等价性的假设下，不规则权重的几何模性等价于对所有 v|p 的晶体提升的存在性。
• 该论证构建了一系列等价关系：晶体提升性 ⇔ 代数模性 ⇔ 规则权重的几何模性，然后这又推出不规则权重的几何模性。
• 结果将 Diamond–Sasaki 的 partial weight one 模性推广到更广的情境（全实数域 F、p 在 F 中未发生分裂、p 为奇数）。