[论文解读] Partiality, Revisited: The Partiality Monad as a Quotient Inductive-Inductive Type
本文提出了一种基于商归纳归纳类型（QIIT）的偏性单子，该单子在不依赖可数选择公理的前提下建模了部分计算，解决了Capretta的延迟单子的关键局限。通过利用高阶归纳归纳构造，将弱双相似性直接作为等价关系内化，作者实现了构造性、基于商的偏性单子，该单子在假定可数选择公理时，与商化延迟单子等价。
Capretta's delay monad can be used to model partial computations, but it has the "wrong" notion of built-in equality, strong bisimilarity. An alternative is to quotient the delay monad by the "right" notion of equality, weak bisimilarity. However, recent work by Chapman et al. suggests that it is impossible to define a monad structure on the resulting construction in common forms of type theory without assuming (instances of) the axiom of countable choice. Using an idea from homotopy type theory - a higher inductive-inductive type - we construct a partiality monad without relying on countable choice. We prove that, in the presence of countable choice, our partiality monad is equivalent to the delay monad quotiented by weak bisimilarity. Furthermore we outline several applications.
研究动机与目标
- 在不假设可数选择公理的前提下，构造一个能正确将弱双相似计算识别为等价的偏性单子。
- 克服基于集合对（setoid）的商化及其在类型理论中引发的'集合对地狱'（setoid hell）问题。
- 为商化延迟单子提供一种构造性替代方案，否则该单子需要可数选择公理才能构成单子。
- 在依赖类型理论中实现对非终止程序的推理，具备正确的等价关系与信息隐藏机制。
- 为构造性域理论与类型理论中的操作语义学奠定基础。
提出的方法
- 构建一个高阶归纳归纳类型（HIIT），同时定义偏性单子及其等价关系（即弱双相似性）。
- 利用商归纳归纳类型（QIIT）结构，将弱双相似性内化为单子中的定义等价。
- 使用共归纳构造器定义单子：'now' 表示立即结果，'later' 表示延迟计算。
- 通过构造确保所有操作都尊重弱双相似性，避免显式证明义务。
- 利用同伦类型理论技术，将商化直接嵌入类型定义中，避免依赖外部商化机制。
- 证明当假设可数选择公理时，所得单子与商化延迟单子等价。
实验结果
研究问题
- RQ1是否可以在类型理论中构造一个偏性单子，使其在不假设可数选择公理的前提下，正确识别弱双相似的计算？
- RQ2是否可能在不依赖可数选择公理的前提下，对延迟单子关于弱双相似性的商化结构定义单子？
- RQ3商归纳归纳类型能否用于内化等价关系，从而在构造性类型理论中避免'集合对地狱'？
- RQ4与标准延迟单子及其商化变体相比，该提议的单子在等价性和计算行为方面有何差异？
- RQ5该构造对依赖类型理论中的构造性域理论与操作语义学具有何种影响？
主要发现
- 所提出的偏性单子以商归纳归纳类型构造，避免了对可数选择公理的依赖。
- 在假设可数选择公理时，该单子与商化延迟单子等价，验证了其正确性。
- 该构造自然地将弱双相似性作为等价关系，解决了原始延迟单子的内涵性问题。
- 通过将等价关系嵌入类型结构，该方法避免了'集合对地狱'，实现了信息隐藏与模块化推理。
- 该单子支持在商化实数上定义连续函数（如'isPositive'），这些函数在标准构造性设定下原本不可计算。
- 该方法使得在构造性环境中能够构建定义等价的解释器、类型安全性证明以及编译器正确性结果。
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本解读由 AI 生成，并经人工编辑审核。