[论文解读] Partialization of categories and inverse braid-permutation monoid

Ganna Kudryavtseva, Volodymyr Mazorchuk|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2006

semigroups and automata theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文引入了偏化函子（partialization functor）作为一种范畴论构造，系统地从具有单射拉回的小范畴生成反幺半群。该函子被应用于定义新的反幺半群——反辫子-置换幺半群，并为其提供一个展示关系，同时研究其迭代，从而实现对保序映射幺半群的范畴化以及对对称反幺半群的正则化推广。

ABSTRACT

We show how the categorial approach to inverse monoids can be described as a certain endofunctor (which we call the partialization functor) of some category. In this paper we show that this functor can be used to obtain several recently defined inverse monoids, and use it to define a new object, which we call the inverse braid-permutation monoid. A presentation for this monoid is obtained. Finally, we study some abstract properties of the partialization functor and its iterations. This leads to a categorification of a monoid of all order preserving maps, and series of orthodox generalizations of the symmetric inverse semigroup.

研究动机与目标

• 通过函子化的偏化过程形式化反幺半群的范畴论构造。
• 定义并分析一个新的反幺半群——反辫子-置换幺半群，作为反辫子幺半群的推广。
• 研究偏化函子的迭代及其与正则与正则化半群的关系。
• 提供对固定端点的链上保序映射幺半群的范畴化。
• 通过偏化函子的迭代推广对称反幺半群。

提出的方法

• 在满足条件1的小范畴上定义偏化函子 𝒫，该条件确保单射存在拉回。
• 通过拉回将态射扩展以包含部分映射，从而构造出具有增强态射集的新范畴。
• 将偏化函子应用于带洞平面的范畴，以端点自同态幺半群的形式恢复反辫子幺半群。
• 将构造推广至辫子-置换群的运动范畴，以定义反辫子-置换幺半群 𝒊𝑩𝑷𝒏。
• 基于辫子与置换关系，利用生成元与关系推导出 𝒊𝑩𝑷𝒏 的有限展示。
• 研究偏化函子的迭代，包括 𝒫ⁿ 与准迭代之间的典范自然变换，及其与正则与正则化半群的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地应用偏化函子，从范畴数据构造反幺半群？
• RQ2 反辫子-置换幺半群作为反辫子幺半群的推广，其结构与展示关系为何？
• RQ3 偏化函子的迭代如何与正则与正则化半群相关联？
• RQ4 偏化函子以何种方式导致对链上保序映射幺半群的范畴化？
• RQ5 反辫子-置换幺半群的格林关系与幂等元结构为何？

主要发现

• 反辫子-置换幺半群 𝒊𝑩𝑷𝒏 被定义为 ℝ³ 中 n 条无结、无链接、定向的曲线范畴的偏化范畴的端自同态幺半群。
• 获得 𝒊𝑩𝑷𝒏 的有限展示，其生成元对应于辫子与置换关系，关系则编码了部分性。
• 幺半群 𝒊𝑩𝑷𝒏 是可分解的，且 E(𝒊𝑩𝑷𝒏) = (k+1)^n，其幂等元由 {1,…,n} 的子集旗参数化。
• 𝒊𝑩𝑷𝒏 中元素的格林 ℒ-类由旗 (A₁,…,Aₖ) 决定，而 ℛ-类由单射 f 的像决定。
• 证明偏化函子 𝒫ⁿ 是在合适范畴上的自函子，其迭代通过典范自然变换相互关联。
• 将 𝒫ⁿ 应用于有限集范畴，可得到对固定端点的链上保序映射幺半群的范畴化。