[论文解读] Partially hyperbolic diffeomorphisms homotopic to the identity in dimension 3, Part II: Branching foliations

Thomas Barthelmé, Sérgio R. Fenley+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用 1

一句话总结

本文通过分析Burago与Ivanov的中心稳定与中心不稳定分支叶状结构，将同伦于恒等映射的3维部分双曲微分同胚的分类结果加以拓展，证明在双曲3-流形中，此类微分同胚要么是动力一致的（其某幂为离散化的Anosov流），要么属于一类新类别——双平移。该研究建立了分支叶状结构的极小性，并在双不变性条件下证明了动力一致性，从而在Seifert纤维化流形与双曲流形中完成了完整分类。

ABSTRACT

We study $3$-dimensional partially hyperbolic diffeomorphisms that are homotopic to the identity, focusing on the geometry and dynamics of Burago and Ivanov's center stable and center unstable \emph{branching} foliations. This extends our study of the true foliations that appear in the dynamically coherent case (see \emph{Partially hyperbolic diffeomorphisms homotopic to the identity in dimension 3, Part I: The dynamically coherent case}, arxiv:1908.06227v3). We complete the classification of such diffeomorphisms in Seifert fibered manifolds. In hyperbolic manifolds, we show that any such diffeomorphism is either dynamically coherent and has a power that is a discretized Anosov flow, or is of a new potential class called a \emph{double translation}.

研究动机与目标

• 对同伦于恒等映射的3维流形中的部分双曲微分同胚进行分类，尤其关注Seifert纤维化流形与双曲流形。
• 通过引入并分析分支叶状结构，将先前关于动力一致系统的成果推广至非一致情形。
• 建立中心稳定与中心不稳定分支叶状结构的几何与动力性质，包括极小性与叶空间结构。
• 刻画此类微分同胚在双曲3-流形中的动力行为，识别出一类新系统——双平移。
• 证明中心叶的双不变性可推出动力一致性，即使不借助提升或迭代。

提出的方法

• 利用Burago与Ivanov构造的中心稳定与中心不稳定分支叶状结构，将基于叶状结构的分析方法推广至非动力一致系统。
• 使用拓扑与几何工具（包括Gromov双曲性与紧致性性质）分析分支叶状结构的叶空间。
• 应用Lefschetz指标理论研究叶空间中的不动点与周期行为，尤其关注极小子集的情形。
• 采用逼近叶状结构与坍塌技术，将分支叶状结构的动力学与真实叶状结构联系起来，特别是在极小情形下。
• 通过在万有覆盖上使用良好提升分析动力学，排除不动点并证明叶的极小性。
• 建立中心叶的双不变性作为动力一致性的充分条件，即使不假设初始一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在同伦于恒等映射的3维部分双曲微分同胚中，中心稳定与中心不稳定分支叶状结构的动力与几何性质为何？
• RQ2 分支叶状结构的结构与真实叶状结构有何不同？会涌现出何种新的动力行为？
• RQ3 在双曲3-流形中，当动力一致性不成立时，此类微分同胚可能的动力类型有哪些？
• RQ4 中心叶的双不变性是否可在不取提升或迭代的情况下推出动力一致性？
• RQ5 极小性与f-极小性在分支叶状结构的动力中起何作用？它们与流形的整体结构有何关联？

主要发现

• 在Seifert纤维化3-流形中，任意同伦于恒等映射的部分双曲微分同胚要么是动力一致的，要么属于新类别，但该分类通过分支叶状结构框架得以完成。
• 在双曲3-流形中，此类微分同胚要么是动力一致的（其某幂为离散化的Anosov流），要么属于一类新类别——双平移。
• 中心叶的双不变性可推出动力一致性，即使不假设初始一致性或取迭代。
• 在无紧致叶的前提下，中心稳定与中心不稳定分支叶状结构的极小性等价于f-极小性。
• 在万有覆盖上的良好提升无不动点，这对证明极小性及排除病态动力行为至关重要。
• 在某些条件下，分支叶状结构的叶空间为Gromov双曲，且叶空间上的动力行为反映了微分同胚的整体动力行为。