[论文解读] Partially hyperbolic diffeomorphisms with one-dimensional neutral center on 3-manifolds

Jinhua Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文证明了在具有1维中性中心的3-流形上的部分双曲微分同胚具有完备的中心稳定与中心不稳定叶状结构，且每片叶在拓扑上为平面、圆柱面或莫比乌斯带。关键结果确认了通过德恩扭转构造的非遍历阿诺索夫流类例子的鲁棒完备性，并表明中心叶状结构诱导出一个与原流拓扑等价的阿诺索夫流。

ABSTRACT

We prove that for any partially hyperbolic diffeomorphism with one dimensional neutral center on a 3-manifold, the center stable and center unstable foliations are complete; moreover, each leaf of center stable and center unstable foliations is a cylinder, a M$\ddot{o}$bius band or a plane. Further properties of the Bonatti-Parwani-Potrie type of partially hyperbolic diffeomorphisms are studied. Such examples are obtained by composing the time $m$-map (for $m>0$ large) of a non-transitive Anosov flow $ϕ_t$ on an orientable 3-manifold with Dehn twists along some transverse tori, and the examples are partially hyperbolic with one-dimensional neutral center. We prove that the center foliation gives a topologically Anosov flow which is topologically equivalent to $ϕ_t$. We also prove that for the precise example constructed by Bonatti-Parwani-Potrie, the center stable and center unstable foliations are robustly complete.

研究动机与目标

• 解决在3-流形上具有1维中性中心的部分双曲微分同胚的中心稳定与中心不稳定叶状结构是否完备的问题。
• 确定这些叶状结构中叶的可能拓扑类型，特别是其是否为平面、圆柱面或莫比乌斯带。
• 研究所构造的微分同胚与构造中所用原始阿诺索夫流之间的动力关系。
• 验证特定例子（尤其是博纳蒂-帕尔瓦尼-波特里型）的完备性在小扰动下是否鲁棒。

提出的方法

• 分析具有1维中性中心的紧致3-流形上部分双曲微分同胚的动力学，利用切丛分解为E^s、E^c与E^u丛。
• 应用动力协调性与瓦片扩张性概念，以保证不变叶状结构的存在性与唯一性。
• 通过微分同胚与底层阿诺索夫流之间的叶共轭，转移几何与动力性质。
• 采用提升至万有覆盖的方法，分析中心稳定与中心不稳定叶的结构。
• 运用涉及强稳定叶与不变中心叶的拓扑论证，证明完备性。
• 利用博纳蒂-帕尔瓦尼-波特里构造的具体方法，即通过在横截环面上进行德恩扭转，复合非遍历阿诺索夫流的时移映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意具有1维中性中心的3-流形上的部分双曲微分同胚，其中心稳定与中心不稳定叶状结构是否完备？
• RQ2 此类系统中，中心稳定与中心不稳定叶的可能拓扑类型是什么？
• RQ3 通过德恩扭转构造的微分同胚的中心叶状结构是否诱导出一个与原始阿诺索夫流拓扑等价的拓扑阿诺索夫流？
• RQ4 叶状结构的完备性在微分同胚的小扰动下是否鲁棒？
• RQ5 中心叶状结构的几何与动力性质如何与底层阿诺索夫流的结构相关？

主要发现

• 对于任意具有1维中性中心的紧致3-流形上的部分双曲微分同胚，其中心稳定与中心不稳定叶状结构是完备的。
• 每片中心稳定与中心不稳定叶在拓扑上为平面、莫比乌斯带或圆柱面，其中后两种类型恰好出现在叶包含紧致中心叶时。
• 对于通过德恩扭转在非遍历阿诺索夫流上构造的博纳蒂-帕尔瓦尼-波特里型例子，中心叶状结构诱导出一个与原始阿诺索夫流拓扑等价的拓扑阿诺索夫流。
• 中心稳定与中心不稳定叶状结构的完备性在博纳蒂-帕尔瓦尼-波特里构造的具体例子中是鲁棒的，即在小扰动下仍保持不变。
• 证明依赖于将动力系统提升至万有覆盖，并分析不变叶及其与强稳定与强不稳定叶的交点，以在不完备假设下导出矛盾。
• 结果确认，动力协调性与中性中心条件足以确保完备性及对叶结构的拓扑控制。