[论文解读] Partially hyperbolic diffeomorphisms with uniformly center foliation: the quotient dynamics

Doris Bohnet, Christian Bonatti|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文证明了具有均匀紧致中心叶状结构的偏双曲微分同胚是动力一致的，且在中心叶的商空间上诱导的动力系统表现出影子性质。此外，本文进一步证明了在商系统中，周期性中心叶在链递归集中稠密，揭示了即使在缺乏唯一可积性的情况下，仍存在某种形式的拓扑双曲性。

ABSTRACT

We show that a partially hyperbolic $C^1$ -diffeomorphism $f : M o M$ with a uniformly compact $f$ -invariant center foliation $F^c$ is dynamically coherent. Further, the induced homeomorphism $F : M/F^c o M/F^c$ on the quotient space of the center foliation has the shadowing property, i.e. for every $\varepsilon> 0$ there exists $δ> 0$ such that every $δ$-pseudo orbit of center leaves is $\varepsilon$-shadowed by an orbit of center leaves. Although the shadowing orbit is not necessarily unique, we prove the density of periodic center leaves inside the chain recurrent set of the quotient dynamics. Some other interesting properties of the quotient dynamics are discussed.

研究动机与目标

• 建立具有均匀紧致、f-不变中心叶状结构的偏双曲微分同胚的动力一致性。
• 分析由中心叶状结构诱导的商系统 M/ℱᶜ 的拓扑动力学性质。
• 研究商动力系统是否表现出类似双曲性的性质，如影子性质和周期轨道的稠密性。
• 探讨在强紧致性假设下，中心叶状结构是否可能存在唯一可积性。

提出的方法

• 利用贴片展开性条件，确保中心叶状结构在小的 C¹-扰动下保持结构稳定性。
• 将影子引理应用于商空间中中心叶的伪轨道。
• 通过阿诺索夫映射的周期点构造伪轨道，以证明商空间中稳定/不稳定流形的非唯一性。
• 使用豪斯多夫距离定义 M/ℱᶜ 上的商拓扑，确保商空间的紧致性。
• 分析商空间中轨道的渐近行为，表明正负轨道可能收敛，但未必属于同一稳定或不稳定叶。
• 利用艾普施泰因（Epshteyn, 1976）关于有限单体群的结果，定义均匀紧致叶状结构并确保商空间的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有均匀紧致中心叶状结构的偏双曲微分同胚是否必然具有动力一致性分解？
• RQ2 商空间 M/ℱᶜ 上的动力系统是否对中心叶的伪轨道满足影子性质？
• RQ3 周期性中心叶是否在商系统的链递归集中稠密？
• RQ4 在相同的中心丛下，是否存在两个不同的不变中心叶状结构，即使在均匀紧致性假设下？
• RQ5 尽管缺乏唯一可积性，商动力系统在多大程度上仍保持类似双曲的动力行为？

主要发现

• 当中心叶状结构为均匀紧致且 f-不变时，该微分同胚是动力一致的。
• 在商空间 M/ℱᶜ 上诱导的同胚 F 满足影子性质：每个 δ-伪轨道均被某个真实轨道 ε-影子。
• 周期性中心叶在商动力系统的链递归集中稠密，即使影子轨道未必唯一。
• 存在例子表明，中心叶的轨道在商空间中正向和负向渐近，但不属于同一稳定或不稳定叶，表明标准双曲刻画的失效。
• 在豪斯多夫距离下，商空间 M/ℱᶜ 是一个紧致度量空间，确保了商动力系统的拓扑正则性。
• 本文未解决中心叶状结构的唯一可积性问题，提示即使在强紧致性假设下，也可能存在多个不同的叶状结构。