[论文解读] Particle based gPC methods for mean-field models of swarming with uncertainty

José A. Carrillo, Lorenzo Pareschi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 23被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种基于粒子的广义多项式混沌（gPC）方法，用于具有不确定性的群集平均场模型，结合了物理空间中的蒙特卡洛采样与随机空间中的gPC展开。该方法在保持解非负性的同时，实现了高精度的不确定性量化，优于标准随机伽辽金方法在双曲与动力学问题中常出现的非负性丢失问题。

ABSTRACT

In this work we focus on the construction of numerical schemes for the approximation of stochastic mean--field equations which preserve the nonnegativity of the solution. The method here developed makes use of a mean-field Monte Carlo method in the physical variables combined with a generalized Polynomial Chaos (gPC) expansion in the random space. In contrast to a direct application of stochastic-Galerkin methods, which are highly accurate but lead to the loss of positivity, the proposed schemes are capable to achieve high accuracy in the random space without loosing nonnegativity of the solution. Several applications of the schemes to mean-field models of collective behavior are reported.

研究动机与目标

• 为解决在具有不确定参数的集体行为随机平均场模型中保持非负性的挑战。
• 开发一种数值格式，结合物理空间中蒙特卡洛方法的计算效率与随机空间中广义多项式混沌（gPC）的谱精度。
• 克服在双曲与动力学方程中应用随机伽辽金方法时常遇到的结构性质（尤其是非负性）丧失问题。
• 实现大规模群集系统在不确定性下的精确且稳定模拟，避免维度灾难。
• 为动力学与平均场方程中的不确定性量化，提供一种非侵入式、保持非负性的替代方案，以替代侵入式随机伽辽金方法。

提出的方法

• 该方法采用平均场蒙特卡洛方法近似物理空间中的分布函数，将计算成本降低至 O(SN)，其中 S ≪ N。
• 在随机空间中应用广义多项式混沌（gPC）展开以表示解，使用随机变量 θ₁ 和 θ₂ 的正交多项式。
• 将解投影到 gPC 基底上，导出位置与速度的 gPC 系数的常微分方程组：d/dt x̂_i,lr = v̂_i,lr 与 d/dt v̂_i,lr = 涉及 S^i_lrhk、E^ij_lrhk 与 B^ij_lrhk 项的求和。
• 系数 S^i_lrhk、E^ij_lrhk 与 B^ij_lrhk 通过随机伽辽金投影计算，涉及以概率密度 g(θ₁,θ₂) 为权重在随机域上的积分。
• 在二维随机空间中采用正交多项式 {Φ_k(θ₁)} 与 {Ψ_h(θ₂)} 的张量积，可在正则性假设下实现谱收敛。
• 该方法对物理求解器为非侵入式，并保持了解的结构性质，如解的非负性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于粒子的 gPC 方法能否在具有不确定参数的群集平均场模型中保持解的非负性？
• RQ2 所提出的 MCgPC 方法在精度与稳定性方面相较于标准随机伽辽金方法（后者在双曲问题中会丧失非负性）表现如何？
• RQ3 MCgPC 方法在具有不确定交互参数的大规模系统中的计算成本与可扩展性如何？
• RQ4 该方法能否有效捕捉解的统计矩，如不确定条件下的期望密度与速度？
• RQ5 该方法在多大程度上可推广至其他动力学方程，如维拉斯托-福克-普朗克方程或玻尔兹曼方程？

主要发现

• MCgPC 方法成功保持了解的非负性，而标准随机伽辽金方法由于结构丧失可能产生负密度。
• 该方法在随机空间中实现谱收敛，当 M=4 且 S=5 时，对二维随机输入表现出高精度。
• 对于 N=10⁵ 个智能体的系统，计算成本为 O(NSM²)，该成本可行且可扩展，尤其在 S≪N 时优势明显。
• 数值结果表明，该方法能精确捕捉在随机吸引、排斥与对齐参数作用下粒子分布的均值与方差演化。
• 该方法能有效模拟具有相关与不相关随机输入的复杂群集动力学，包括随机 Morse 势与 Cucker-Smale 对齐模型。
• 该方法在长时间模拟中表现出鲁棒性与稳定性，能在不确定性存在下保持物理一致性。