[论文解读] Particle-Hole Symmetry and the Fractional Quantum Hall States at 5/2 Filling Factor

Jian Yang|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2017

Quantum and electron transport phenomena被引用 3

一句话总结

本文提出一种导数算符 $ D_m $，通过作用于Laughlin态生成新的分数量子霍尔波函数，得到填充因子为 $ \nu = 1/(m_L - m) $ 的态。该研究将 $ \Psi_{3,5} $ 和 $ \Psi_{1,3} $ 识别为 $ 5/2 $ 填充因子的候选态，其中 $ \Psi_{1,3} $ 展现出精确的粒子-空穴对称性，而 $ \Psi_{3,5} $ 与Moore-Read Pfaffian态的粒子-空穴共轭态高度重叠。

ABSTRACT

We propose a derivative operator formed as a function of derivatives of the electron coordinates. When the derivative operator is applied to the Laughlin wave function, two new wave functions in the lowest Landau level at filling factor 1/2 are generated. For systems of 4, 6, and 8 electrons in spherical geometry, it is shown that the first wave function has nearly unity overlap with the particle-hole conjugate of the Moore-Read Pfaffian wave function, therefore together with the Moore-Read Pfaffian state forms a particle-hole conjugate pair. The second wave function has essentially perfect particle-hole symmetry itself, with a positive parity when the number of electron pairs N/2 is an even integer and and a negative parity when N/2 is an odd integer. An equivalent form suggests the first wave function forms a f-wave pairing of composite fermions, and the second wave function forms a p-wave pairing. The corresponding Non-Abelian statistics quasiparticle wave functions are also proposed.

研究动机与目标

• 为解决 $ 5/2 $ 分数量子霍尔效应中的粒子-空穴对称性悖论，即Moore-Read Pfaffian态缺乏粒子-空穴对称性，但库仑哈密顿量却保持该对称性。
• 构建一个内在具有粒子-空穴对称性的波函数，并与 $ 5/2 $ 填充下的精确不可压缩基态具有高重叠度。
• 通过基于导数的算符形式，提供非阿贝尔准粒子及其统计性质的显微描述。
• 将Laughlin态的准电子空间适用范围从 $ 2/5 $ 填充扩展至 $ 1/2 $ 填充，包括 $ 5/2 $ 填充。

提出的方法

• 定义导数算符 $ D_m = \mathrm{Pf}\left( \frac{1}{(\partial_{z_i} - \partial_{z_j})^m} \right) \prod_{i<j} (\partial_{z_i} - \partial_{z_j})^m $，作用于Laughlin波函数 $ \Phi_{m_L} $，生成新态 $ \Psi_{m,m_L} $。
• 在球面几何中应用该算符，其中磁通量 $ N_\phi $ 与电子数 $ N $ 的关系为 $ N_\phi = (m_L - m)N + (2m - m_L) $，得到 $ \Psi_{3,5} $ 对应 $ N_\phi = 2N+1 $，$ \Psi_{1,3} $ 对应 $ N_\phi = 2N-1 $。
• 利用球面几何中的精确对角化，计算 $ \Psi_{1,3} $ 与其粒子-空穴共轭态 $ \Psi_{1,3}^{PH} $ 之间的重叠度，并评估其宇称性质及与精确基态的重叠度。
• 通过最低 Landau 亚层投影推导 $ \Psi_{3,5} $ 和 $ \Psi_{1,3} $ 的等价形式，分别揭示复合费米子的 $ f $-波和 $ p $-波配对。
• 通过在Pfaffian结构中插入坐标 $ \xi_a $，构造非阿贝尔准 hole 和准粒子波函数，推广Moore-Read Pfaffian构造方法。
• 证明 $ \Psi_{m,m_L} $ 位于Laughlin态的准电子空间内，将其适用范围扩展至 $ 1/2 $ 填充因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个内在具有粒子-空穴对称性且与精确 $ 5/2 $ 基态重叠度高的波函数？
• RQ2 $ \Psi_{1,3} $ 态是否展现出精确的粒子-空穴对称性？其宇称行为如何随 $ N/2 $ 变化？
• RQ3 $ \Psi_{3,5} $ 态与Moore-Read Pfaffian态及其粒子-空穴共轭态有何关系？
• RQ4 导数算符 $ D_m $ 能否生成描述复合费米子 $ f $-波和 $ p $-波配对的态？
• RQ5 Laughlin态的准电子空间在描述 $ 5/2 $ 态时起什么作用？其适用范围是否可扩展至 $ 2/5 $ 以上？

主要发现

• 当 $ N/2 $ 为奇数时，波函数 $ \Psi_{1,3} $ 的宇称为 $ -1 $，当 $ N/2 $ 为偶数时，宇称为 $ +1 $，且满足 $ \Psi_{1,3} = (-1)^{N/2} \Psi_{1,3}^{PH} $，表明其具有精确的粒子-空穴对称性。
• 对于 $ N = 6 $，$ \Psi_{1,3} $ 与它的粒子-空穴共轭态 $ \Psi_{1,3}^{PH} $ 的重叠度为 $ 0.9991 $；对于 $ N = 8 $，重叠度为 $ 0.9798 $，证实其具有高度对称性与一致性。
• 在球面几何中，波函数 $ \Psi_{3,5} $ 与Moore-Read Pfaffian态的粒子-空穴共轭态的重叠度接近于单位值（$ \sim 0.999 $），适用于 $ N = 4, 6, 8 $。
• 通过等价形式 $ \Psi_{3,5} = P_{LLL} \mathrm{Pf}\left( \frac{1}{(u_i^*v_j^* - u_j^*v_i^*)^3} \right) \prod_{i<j} |u_i v_j - u_j v_i|^6 \Phi_2 $ 可揭示复合费米子的 $ f $-波配对。
• 通过等价形式 $ \Psi_{1,3} = P_{LLL} \mathrm{Pf}\left( \frac{1}{u_i^*v_j^* - u_j^*v_i^*} \right) \prod_{i<j} |u_i v_j - u_j v_i|^2 \Phi_2 $ 可揭示复合费米子的 $ p $-波配对。
• 非阿贝尔准 hole 波函数通过 $ \mathrm{Pf}\left( \frac{\prod_a (z_i - \xi_a) \prod_b (z_j - \xi_b) + (i \leftrightarrow j)}{(\partial_{z_i} - \partial_{z_j})^m} \right) $ 构造，其准 hole 电荷为 $ -1/(2(m_L - m)) $，统计参数为 $ 1/(2(m_L - m)) $。