[论文解读] Partition-based sampling of warp maps for curve alignment

Karthik Bharath, Sebastian Kurtek|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2017

Point processes and geometric inequalities被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于划分的采样方法，用于连续单调曲线对齐中的变形映射，利用点过程理论在区间 [0,1] 和单位圆 𝕊¹ 上定义了一种灵活的变形映射分布。该方法可将带标志性点的对齐问题分解为无约束子问题，并支持在 ℝᵏ（k=1,2,3）中对开放与闭合曲线进行随机变分推断与贝叶斯建模。

ABSTRACT

We propose a flexible sampling method for warp maps used in continuous monotone pairwise alignment of open and closed curves, possibly with landmark constraints. Using the point process machinery, we conduct a detailed study of the sampling method and demonstrate that it prescribes a distribution on the set of warp maps of $[0,1]$ and the unit length circle $\mathbb{S}^1$. The distribution (1) possesses the desiderata for decomposition of the alignment problem with landmark constraints into multiple unconstrained ones, and (2) can be centered at a desired warp map. It is based on random partitions of $[0,1]$ and $\mathbb{S}^1$ and contains a global regularization parameter, both of which enable the sampling of a rich class of warp maps. The distribution can be related to the Dirichlet process on the set of probability measures. Practical utility of the sampling method is demonstrated through (1) a novel stochastic variational algorithm, and (2) a Bayesian model for alignment, for closed and open curves in $\mathbb{R}^k, k=1,2,3$.

研究动机与目标

• 开发一种灵活的、概率性的变形映射采样框架，用于连续单调曲线对齐。
• 实现带标志性点约束的对齐问题向多个无约束子问题的分解。
• 定义一种可围绕指定映射分布并由全局参数正则化的变形映射分布。
• 支持在 ℝ¹、ℝ² 和 ℝ³ 中进行曲线对齐的实用贝叶斯推断与变分算法。
• 建立所提分布与概率测度上狄利克雷过程之间的联系。

提出的方法

• 该方法使用对域 [0,1] 和单位圆 𝕊¹ 的随机划分来构造变形映射。
• 通过点过程工具定义变形映射上的分布，确保单调性与连续性。
• 该分布引入一个全局正则化参数，以控制所采样变形映射的平滑性与变异性。
• 该方法允许将分布中心化于指定的变形映射，从而在贝叶斯模型中实现先验设定。
• 建立了变形映射分布与概率测度上狄利克雷过程之间的理论联系。
• 该框架支持一种新颖的随机变分算法与贝叶斯建模用于曲线对齐。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一种灵活的概率采样方法，以支持带标志性点约束的连续单调曲线对齐？
• RQ2 能否通过在变形映射上使用结构化分布，将带标志性点的对齐问题分解为多个无约束子问题？
• RQ3 所提分布与已知的随机过程（如狄利克雷过程）之间有何关系？
• RQ4 全局正则化参数在塑造所采样变形映射空间中的作用是什么？
• RQ5 该方法如何在随机变分推断与贝叶斯建模中有效应用于曲线对齐？

主要发现

• 所提采样方法在 [0,1] 和 𝕊¹ 上定义了有效概率分布，适用于单调变形映射，满足对齐分解的关键需求。
• 该分布支持围绕目标变形映射中心化，从而在贝叶斯推断中实现先验设定。
• 该方法可将带标志性点约束的对齐问题分解为多个无约束子问题，简化了推断过程。
• 该分布与概率测度空间上的狄利克雷过程存在理论联系。
• 开发并验证了一种随机变分算法，证明其在所提模型中推断的有效性。
• 该框架在 ℝ¹、ℝ² 和 ℝ³ 中的开放与闭合曲线中具有实际应用价值，并在贝叶斯对齐模型中展现出实用性。