[论文解读] Partition Functions of Matrix Models as the First Special Functions of String Theory I. Finite Size Hermitean 1-Matrix Model

A. Alexandrov, А. Миронов+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用 100

一句话总结

本文提出将有限尺寸赫米特矩阵一矩阵模型的配分函数视为弦理论中的基本特殊函数，类似于经典特殊函数。它分析了其D-模结构，推导了维拉索罗约束，计算了多圈关联函数与预势，为系统研究矩阵模型配分函数作为弦理论中通用构建块奠定了基础。

ABSTRACT

Even though matrix model partition functions do not exhaust the entire set of tau-functions relevant for string theory, they seem to be elementary building blocks for many others and they seem to properly capture the fundamental symplicial nature of quantum gravity and string theory. We propose to consider matrix model partition functions as new special functions. This means they should be investigated and put into some standard form, with no reference to particular applications. At the same time, the tables and lists of properties should be full enough to avoid discoveries of unexpected peculiarities in new applications. This is a big job, and the present paper is just a step in this direction. Here we restrict our consideration to the finite-size Hermitean 1-matrix model and concentrate mostly on its phase/branch structure arising when the partition function is considered as a D-module. We discuss the role of the CIV-DV prepotential (as generating a possible basis in the linear space of solutions to the Virasoro constraints, but with a lack of understanding of why and how this basis is distinguished) and evaluate first few multiloop correlators, which generalize semicircular distribution to the case of multitrace and non-planar correlators.

研究动机与目标

• 将矩阵模型配分函数确立为弦理论中的基本特殊函数，独立于具体应用。
• 将有限尺寸赫米特一矩阵模型作为此类特殊函数的原型进行分析。
• 研究配分函数的D-模结构及其在维拉索罗约束下的解空间。
• 计算并列出关键量，如多圈关联函数、预势和生成函数，以供未来参考。

提出的方法

• 将配分函数形式化为有限尺寸赫米特一矩阵模型中维拉索罗约束的D-模解。
• 利用正交多项式技术，推导高斯多密度和关联函数的递推关系。
• 采用吉本塔尔风格分解和积分表示（例如拉普拉斯变换、围道积分），表达两点再生函数。
• 利用谐振子矩阵元和生成函数，计算密度和关联函数的显式表达式。
• 分析CIV-DV预势在维拉索罗约束解空间中作为候选基的作用。
• 评估连续极限，并识别其与其他矩阵模型（如广义康采维奇模型）的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地对矩阵模型的配分函数进行分类并列成表格，作为弦理论中的新特殊函数？
• RQ2 有限尺寸赫米特一矩阵模型中维拉索罗约束的解空间结构是什么？
• RQ3 为何CIV-DV预势在解空间中被突出为基函数？其物理或数学意义为何？
• RQ4 在多迹和非平面相互作用存在的情况下，多圈关联函数如何推广半圆分布？
• RQ5 高斯和非高斯配分函数的显式解析形式及其展开式（包括其预势和生成函数）是什么？

主要发现

• 有限尺寸赫米特一矩阵模型的配分函数被证明是维拉索罗约束的D-模解，其解具有丰富的结构，由亏格和耦合常数参数化。
• 前几阶多圈关联函数被显式计算，将半圆分布推广至非平面和多迹关联函数。
• 利用围道积分和生成函数，推导出两点再生函数的闭式表达式，与低N结果一致。
• CIV-DV预势被识别为维拉索罗约束解空间中的候选基，但其突出作用尚未得到解释。
• 提供了高斯多密度和关联函数的显式递推关系及解析表达式，包括其N展开和预势的t展开。
• 两点关联函数的生成函数以超几何型级数和围道积分形式表达，一致性在N=3范围内得到验证。