[论文解读] Partition Functions of Strongly Correlated Electron Systems as "Fermionants"

Shailesh Chandrasekharan, U.‐J. Wiese|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文引入了'费米子数'——一种广义行列式的新数学对象——作为强关联电子系统（如无穷U Hubbard模型、几何阻挫反铁磁体和Kondo晶格）的配分函数的自然描述。费米子数通过依赖于循环结构的带符号加权和来捕捉无限位点排斥效应，其计算复杂度被证明是量子多体物理中未解决的费米子符号问题的核心。

ABSTRACT

We introduce a new mathematical object, the "fermionant" ${\mathrm{Ferm}}_N(G)$, of type $N$ of an $n imes n$ matrix $G$. It represents certain $n$-point functions involving $N$ species of free fermions. When N=1, the fermionant reduces to the determinant. The partition function of the repulsive Hubbard model, of geometrically frustrated quantum antiferromagnets, and of Kondo lattice models can be expressed as fermionants of type N=2, which naturally incorporates infinite on-site repulsion. A computation of the fermionant in polynomial time would solve many interesting fermion sign problems.

研究动机与目标

• 为具有无限位点排斥的强关联费米子系统中的配分函数建立统一的数学框架。
• 解决如Hubbard模型和几何阻挫反铁磁体等量子多体系统中长期存在的费米子符号问题。
• 探讨费米子数（作为行列式的推广）是否可多项式时间计算，从而潜在解决长期存在的符号问题。
• 将费米子数与物理可观测量（如自由费米子理论中的n点函数和微扰费曼图求和）联系起来。
• 研究费米子数的计算复杂度及其与组合学中特征标和永久类似问题的关联。

提出的方法

• 将费米子数 $\mathrm{Ferm}_N(G)$ 定义为对 $n \times n$ 矩阵 $G$ 的所有置换 $\sigma$ 的求和，权重为 $(-N)^{\nu(\sigma)}$，其中 $\nu(\sigma)$ 是 $\sigma$ 中的循环数。
• 证明当 $N=1$ 时费米子数退化为行列式，当 $N=-1$ 时退化为永久，确立其作为两者的推广作用。
• 利用特征标理论将费米子数表示为若干特征标函数的线性组合：$\mathrm{Ferm}_N(G) = (-1)^n \sum_\Gamma c_\Gamma(N) \mathrm{Imm}_\Gamma(G)$，从而与群表示理论建立联系。
• 证明无穷$U$ Hubbard模型、几何阻挫反铁磁体和Kondo晶格的配分函数自然地表示为 $N=2$ 类型的费米子数。
• 利用费米子数描述自由费米子系统中的 $n$-点函数，并对微扰论中给定阶数的所有费曼图进行求和。
• 分析费米子数的计算复杂度，指出尽管尚无多项式时间算法，但其结构可能在特定情况下允许高效的随机采样。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有无限位点排斥的强关联费米子系统的配分函数能否用超越行列式的新型数学对象表达？
• RQ2 费米子数如何推广行列式与永久？其在群特征标与循环指标意义上的数学结构是什么？
• RQ3 计算费米子数的复杂度如何？它是否属于P类，还是如永久一样为#P难？
• RQ4 费米子数能否作为理解量子蒙特卡洛模拟中费米子系统符号问题的统一框架？
• RQ5 是否存在某些物理系统，尽管费米子数在一般情况下不可计算，但其结构仍能实现高效的随机采样？

主要发现

• 在非半满情况下的无穷$U$ Hubbard模型的配分函数可精确表达为 $N=2$ 类型的费米子数。
• 几何阻挫量子反铁磁体和Kondo晶格模型的配分函数也自然地由 $N=2$ 类型的费米子数描述。
• 费米子数通过为每个置换加权 $(-N)^{\nu(\sigma)}$ 来推广行列式，其中 $\nu(\sigma)$ 是置换 $\sigma$ 中的循环数。
• 费米子数通过特征标展开与特征标函数相关联，其复杂度预计至少与永久相当。
• 若存在计算费米子数的多项式时间算法，将解决凝聚态物理中许多困难的费米子符号问题。
• 尽管尚无此类算法，费米子数仍为分析强关联费米子系统计算困难性提供了新的数学视角。