[论文解读] Partitionability to two trees is NP-complete

Dömötör Pálvölgyi|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2010

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文证明了判断一个简单图的边集是否可以划分为两个不相交的生成树是 NP-完全问题。作者通过使用由变量子图和子句子图通过紫色边连接的图构造，将非全等可满足性（NAE-SAT）问题归约到两个树可划分性（P2T）问题，表明当且仅当存在一个有效的 NAE-SAT 赋值时，才存在一个有效的树划分。

ABSTRACT

We show that P2T - the problem of deciding whether the edge set of a simple graph can be partitioned into two trees or not - is NP-complete.

研究动机与目标

• 确定图的边集能否被划分为两个边不相交的生成树的计算复杂性。
• 解决 András Frank 提出的关于将边划分为 k 个非生成树的复杂性问题的开放疑问。
• 证明即使在最大度数受限的约束下，该问题依然是 NP-完全的。
• 通过专门设计的图子结构，提供从 NAE-SAT 到 P2T 决策问题的紧致归约。
• 证明边划分为两棵树恰好对应于一个有效的 NAE-SAT 赋值，从而建立等价性。

提出的方法

• 从给定的 NAE-SAT 实例构造图 G，其中变量子图 L_i 通过 v_i 和 v̄_i 连接 t_{i-1} 和 t_i，形成一个环。
• 引入连接顶点 u 和 w 的“紫色边”，其移除会将一个不与其余部分相连的 4 个顶点环隔离，从而强制每棵树恰好使用这两条关联边中的一条。
• 对于每个子句，构建包含 3k 个顶点的子句子图 C_j：一个由 p_j^i 和 q_j^i 构成的 2k 环，以及 k 个附加的 r_j^i 顶点，这些顶点连接到 p_j^i 和 v_m 或 v̄_m（取决于文字的符号）。
• 在每个 r_j^i 和 q_j^i 之间附加一条紫色边，以防止树通过 r_j^i 从子句子图中进出，从而确保进入和离开路径受到约束。
• 通过从 α 到 ω 的有向树遍历，强制 v_i 和 v̄_i 恰好属于一棵树，以模拟变量的真值赋值。
• 通过证明相等文字在子句中会导致某棵树中出现环，从而证明有效的树划分蕴含一个良好的 NAE-SAT 赋值，反之亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 将简单图的边集划分为两个边不相交的生成树的问题是否具有计算难度？
• RQ2 非全等可满足性（NAE-SAT）问题能否在多项式时间内归约到 P2T 问题？
• RQ3 P2T 的 NP-完全性在最大度数受限的条件下是否依然成立？
• RQ4 图的哪些结构特性可确保有效的两棵树划分恰好对应于一个有效的 NAE-SAT 赋值？
• RQ5 紫色边如何强制每棵树恰好使用一对顶点所关联的两条边中的一条？

主要发现

• P2T 问题为 NP-完全问题，这是通过从 NAE-SAT 到 P2T 的多项式时间多对一归约证明的。
• 当且仅当对应的 NAE-SAT 实例存在一个赋值，使得每个子句中同时包含真和假的文字时，才存在有效的边划分为两棵树。
• 该构造确保每个变量子图 L_i 强制一棵树使用 v_i 路径，另一棵树使用 v̄_i 路径，从而模拟真值赋值。
• 紫色边强制每棵树必须恰好使用一对顶点所关联的两条边中的一条，从而防止环的出现并确保遍历约束。
• 子句子图的设计使得：如果子句中所有文字具有相同的真值，则某棵树将被迫包含一个环，从而违反树的性质。
• 即使在最大度数为四的图中，该结果依然成立，如通过归约到 NAE-SAT-(2;2) 所示，其中每个文字至多出现两次。