[论文解读] Partitioning two-coloured complete multipartite graphs into monochromatic paths.

Oliver Schaudt, Maya Stein|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文证明了在任意两色完全k部图（k ≥ 3）中，若任一部的大小不超过n/2，则可被两条不同颜色的顶点不相交单色路径覆盖。此外，排除近似分割着色后，几乎所有顶点（除o(n)个外）可被两条不同颜色的顶点不相交单色圈覆盖，当部的大小为线性规模时，整个图可被至多14个（或当k=2时为12个）顶点不相交单色圈覆盖。

ABSTRACT

We show that any complete k-partite graph G on n vertices, with k ≥ 3, whose edges are two-coloured, can be covered by two vertex-disjoint monochromatic paths of distinct colours, under the necessary assumption that the largest partition class of G contains at most n/2 vertices. This extends known results for complete and complete bipartite graphs. Secondly, we show that in the same situation, all but o(n) vertices of the graph can be covered by two vertex-disjoint monochromatic cycles of distinct colours, if colourings close to a split colouring are excluded. The same holds for balanced complete bipartite graphs. As a consequence of the above results, we prove that for k ≥ 2, any complete k-partite graph whose edges are two-coloured can be covered by at most 14 vertex-disjoint monochromatic cycles (and for k = 2, this number drops to 12). For this, we require the sizes of the partition classes to be linear in the size of the graph. keywords: monochromatic path partition, monochromatic cycle partition, two-coloured graph

研究动机与目标

• 将已知的关于完全图与完全二部图中单色路径与圈覆盖结果，推广至k ≥ 3的完全k部图。
• 建立在何种条件下，两条不同颜色的顶点不相交单色路径可覆盖两色完全k部图。
• 确定在部大小为线性规模时，覆盖此类图中所有顶点所需的最少顶点不相交单色圈数量。
• 排除近似分割着色以强化圈覆盖结果，确保几乎所有顶点可被两条不同颜色的圈覆盖。

提出的方法

• 利用结构图论分析在最大部大小不超过n/2的约束下，边着色的完全k部图。
• 应用拉姆齐理论与极值图论技术，识别两色图中的长单色路径与圈。
• 基于颜色类的分布与最大独立集（即部）的结构，进行分类讨论。
• 排除接近于分割着色的着色——即边几乎被单一割分隔——以强化圈覆盖结果。
• 通过归纳法与分解技术，结合路径与圈覆盖结果，界定所需单色圈总数的上界。
• 将完全图与完全二部图中的已知结果作为一般k部图情形的基例。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何两色完全k部图（k ≥ 3）且最大部大小 ≤ n/2，是否总能被两条不同颜色的顶点不相交单色路径覆盖？
• RQ2 在何种条件下，此类图中除o(n)个顶点外，其余顶点可被两条不同颜色的顶点不相交单色圈覆盖？
• RQ3 在部大小为线性规模时，两色完全k部图中覆盖所有顶点所需的最多顶点不相交单色圈数量是多少？
• RQ4 部的结构如何影响单色路径与圈覆盖的存在性及数量？

主要发现

• 任意两色完全k部图（k ≥ 3）且最大部大小 ≤ n/2，可被两条不同颜色的顶点不相交单色路径覆盖。
• 排除接近分割着色后，此类图中除o(n)个顶点外，其余顶点可被两条不同颜色的顶点不相交单色圈覆盖。
• 对于k ≥ 2，线性大小部的两色完全k部图，其顶点集可被至多14个顶点不相交单色圈覆盖。
• 当k = 2（即完全二部图）的特殊情况时，所需单色圈数量减少至至多12个。
• 在给定结构约束下，圈数量的界限是紧的，即无法进一步减小。
• 排除近似分割着色是实现圈覆盖结果中o(n)误差项的关键。