[论文解读] Partitionnement d'un réseau de sociabilité à fort coefficient de clustering

Romain Boulet, Bertrand Jouve|ArXiv.org|Oct 23, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 4

一句话总结

本文利用百年战争前后西南法国农业契约，分析中世纪农民社会网络。通过拉普拉斯矩阵的谱图理论，识别出一个高度连通且直径较小的富人俱乐部核心，从中辐射出星型社区，揭示了具有截断幂律度分布和强聚类性的小世界、无标度结构。

ABSTRACT

In order to compare social organization of a medieval peasantry before and after the Hundred Years' War we study the sructure of social networks built from a corpus of agrarian contracts. Low diameters and high clusterings show small-world graphs. Like many other networks studied these last years these graphs are scale-free. The distributions of the vertex degrees are fitted by a truncated power law. Moreover they have a rich-club : a dense core with a low diameter consisting of vertices with high degree. The particular shape of the laplacian spectrum allows us to extract communities that are spread along a star whose center is the rich-club.

研究动机与目标

• 利用历史契约研究百年战争前后中世纪农民社会网络的结构演变。
• 确定这些历史网络是否表现出现代复杂网络中常见的小世界与无标度特性。
• 基于拉普拉斯矩阵的谱方法检测社区结构，并确定其相对于中心富人俱乐部的组织作用。
• 比较两个历史时期网络拓扑与社区组织的差异，推断社会凝聚力与影响力的变迁。

提出的方法

• 从700多份农业契约中构建两个社会网络：$G_{av}$（战前）与$G_{ap}$（战后），以农民为节点，共同签署为边。
• 通过平均最短路径长度（$\bar{l}$）、特征路径长度（$L$）和局部聚类系数（$C_1$）测量小世界特性。
• 使用带指数截断的截断幂律（TPL）拟合度分布，以模拟无标度行为。
• 通过接近度与介数中心性识别富人俱乐部：高阶度、高度互联的节点，直径为2，密度分别为0.67（$G_{av}$）与0.81（$G_{ap}$）。
• 应用基于拉普拉斯矩阵的谱聚类：将$k$-社区识别为具有相同邻域结构的团，依据特征值重数$k-1$与特征向量支集。
• 利用一个定理关联拉普拉斯矩阵与邻接矩阵的特征值，基于$A+I$的秩条件检测大小为$k_1$、$k_2$等的社区。

实验结果

研究问题

• RQ1 中世纪农民网络是否表现出与现代复杂网络相似的小世界与无标度特性？
• RQ2 由高阶度、密集连接节点构成的富人俱乐部结构，如何影响整体网络拓扑？
• RQ3 这些网络中的社区组织结构是怎样的？它们与富人俱乐部有何关联？
• RQ4 战前与战后两个时期，社区结构与网络特性有何差异？
• RQ5 基于拉普拉斯谱的谱方法在历史社会网络中，多大程度上能检测出有意义的社区结构？

主要发现

• 两个网络$G_{av}$与$G_{ap}$均表现出小世界特性：平均最短路径长度分别为2.38与2.52，90%的节点对距离不超过3。
• 网络聚类程度很高：两者的$C_1 = 0.85$，显著高于典型的小世界示例。
• 度分布良好拟合截断幂律（TPL），表明存在带指数截断的无标度结构。
• 两个网络中均存在富人俱乐部：$G_{av}$有25名成员，密度0.67，直径2；$G_{ap}$有18名成员，密度0.81，直径2。
• 谱分析在$G_{av}$中提取出28个社区（最大规模15），在$G_{ap}$中提取出31个社区（最大规模7），所有社区均从富人俱乐部辐射而出，形成星型社区间结构。
• 富人俱乐部组成发生显著变化：战后影响力巨大的康贝勒考家族消失，取而代之的是利马赖阿克家族，表明社会影响力发生重大转移。