[论文解读] Partitions associated with the Ramanujan/Watson mock theta functions $\omega(q), u(q)$ and $\phi(q)$

George E. Andrews, Atul Dixit+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 23被引用 15

一句话总结

本文通过相对于最小部分的奇部和偶部受限的分拆函数，为拉马努金/沃森的三阶模形式θ函数ω(q)、ν(q)和φ(q)建立了组合解释。证明了此类分拆的生成函数恰好是这些模形式θ函数，并推导出与最小部分函数sptω(n)、sptν(n)和sptφ(n)相关的模5新无限同余族，扩展了拉马努金型分拆同余的精神。

ABSTRACT

The generating function of partitions with repeated (resp. distinct) parts such that each odd part is less than twice the smallest part is shown to be the third order mock theta function $\omega(q)$ (resp. $ u(-q)$). Similar results for partitions with the corresponding restriction on each even part are also obtained, one of which involves the third order mock theta function $\phi(q)$. Congruences for the smallest parts functions associated to such partitions are obtained. Two analogues of the partition-theoretic interpretation of Euler's pentagonal theorem are also obtained.

研究动机与目标

• 通过相对于最小部分对奇部和偶部施加约束，为模形式θ函数ω(q)、ν(q)和φ(q)提供分拆理论解释。
• 推导出每个奇部（或偶部）小于（或至多）最小部分两倍的分拆的生成函数，并证明这些生成函数分别生成ω(q)、ν(−q)和φ(q)。
• 建立最小部分函数sptω(n)、sptν(n)和sptφ(n)模5的新无限同余族，扩展拉马努金型分拆同余。
• 通过参数α将这些结果推广至更高阶的模形式θ函数，并探讨其分拆理论意义。
• 证明某些q级数恒等式（源自贝利的10φ9变换）是同余与分拆恒等式的基础。

提出的方法

• 定义分拆类：对于ω(q)，定义为每个奇部小于最小部两倍的分拆；对于ν(−q)，定义为满足相同条件的互异部分分拆。
• 使用生成函数和基本超几何级数恒等式，特别是贝利的10φ9变换的一个特例的二阶导数。
• 应用模形式和q级数恒等式，包括雅可比三重积公式和变换公式，分析模5下的系数。
• 利用关于模形式θ函数及其表示的已知结果（如ν(q)和φ(q)），将其与分拆统计量联系起来。
• 使用恒等式 ∑(q;q)n q^n / ((q;q²)n (1−q^n)^2) = ∑n q^n/(1−q^n) + ∑(−1)^n (1+q^{2n}) q^{3n+1}/(1−q^{2n})^2 推导关键同余。
• 通过参数化形式推广结果至ω(α;q)和ν(α;q)，并利用安德鲁斯（2012）的已知恒等式验证特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过相对于最小部分受限的整数分拆，为模形式θ函数ω(q)、ν(q)和φ(q)提供直接的组合解释？
• RQ2 每个奇部（偶部）小于（至多）最小部两倍的分拆的生成函数是什么？
• RQ3 最小部分函数sptω(n)、sptν(n)和sptφ(n)是否满足模5的拉马努金型同余？
• RQ4 涉及(q;q)n q^n / ((q;q²)n (1−q^n)^2)的q级数恒等式能否用于推导新的分拆同余？
• RQ5 广义模形式θ函数ω(α;q)和ν(α;q)在α ≠ q时是否具有分拆理论解释？

主要发现

• 每个奇部小于最小部两倍的分拆的生成函数为qω(q)，证明了ω(q)与该自然分拆类之间的直接联系。
• 对于满足每个奇部小于最小部两倍的互异部分分拆，其生成函数为ν(−q)，确立了该模形式θ函数的组合解释。
• 最小部分函数sptω(n)满足同余式sptω(5n+3) ≡ 0 (mod 5)，sptω(10n+7) ≡ 0 (mod 5)，以及sptω(10n+9) ≡ 0 (mod 5)，扩展了拉马努金风格同余。
• 最小部分函数sptν(n)满足同余式sptν(10n+8) ≡ 0 (mod 5)，揭示了该互异部分变体的新同余。
• ν(−q)中q^{10n+8}的系数可被5整除，证实了sptν(10n+8)的同余关系。
• 推导出ω(α;q²)和ν(−α;−q)的广义恒等式，当α = q时，特例恢复原始分拆恒等式。