[论文解读] Partitions into thin sets and forgotten theorems of Kunugi and Lusin-Novikov

E. Grzegorek, Iwo Labuda|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文揭示并分析了两份被忽视的1930年代研究成果——Kunugi 和 Lusin-Novikov 的工作，这些成果早于且预见了在 Baire 分类与可测函数理论中的关键发展。它证明了从度量空间到拓扑空间的函数若具有 Baire 性质，则其连续性在第一纲集之外成立，即使不假设陪域的可分性，从而解决了 Kuratowski 在1935年提出的一个基础性问题。

ABSTRACT

Let $f$ be a function from a metric space $Y$ to a separable metric space $X$. If $f$ has the Baire property, then it is continuous apart a 1st category set. In 1935, Kuratowski asked whether the separability requirement could be lifted. A full scale attack on the problem took place in the late seventies and early eighties. What was not known then, and what remains virtually unknown today, is the fact that the first impressive attempt to solve the Kuratowski problem, due to Kinjiro Kunugi and based on a theorem of Lusin and Novikov, took place already in 1936. Lusin's remarkable 1934 Comptes Rendus note soon forgotten, remained unnoticed to this day. We analyze both papers and bring the results to full light.

研究动机与目标

• 恢复并重新确立Kinjiro Kunugi在1936年的工作的重要性，该工作早于且预见了Baire分类与可测函数理论的后续发展。
• 分析Lusin在1934年发表于Comptes Rendus的笔记，该笔记引入了一个关于不可分集无法被Borel集分离的深刻结果，但长期未受关注。
• 表明Kunugi的方法基于Lusin与Novikov的定理，可解决Kuratowski在1935年提出的关于将‘几乎处处连续’性质推广至非可分陪域的问题。
• 证明：若函数取值于度量空间且具有Baire性质，则其在第一纲集之外连续，即使陪域不可分。
• 为这些被遗忘的结果提供现代阐述与证明，突出其在描述集合论与测度论当代研究中的相关性。

提出的方法

• 通过将度量空间分解为具有正相互距离的$G_\rho$-集，重构Kunugi在1936年的证明，其方法受Montgomery工作的启发。
• 应用Lusin在1934年的结果：若集合$F \subset \mathbb{R}$并非总是第一纲，则可将其划分为两个不相交子集$F_1, F_2$，使得任何Borel集都无法将二者分离。
• 利用‘包络’与外测度的概念，证明在正测度的完备集中，两个不相交子集$E_1, E_2$各自可具有等于$m(Q)$的外测度。
• 应用‘在一点处为第二纲’与‘无处稠密’集合的概念，刻画拓扑空间中集合的剩余结构。
• 证明：若函数$f: Y \to X$具有Baire性质，且$Y$是权$\leq \mathfrak{c}$的Čech完备空间，则$f$在第一纲集之外连续。
• 证明主结果的加强形式：对于点有限的普遍$\mathcal{M}$-零或始终为第一纲的集合族，若其并集非零，则不存在任何普遍$\mathcal{M}$-可测集能将某一子族与其余部分分离。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典结果中‘具有Baire性质的函数在第一纲集之外连续’是否可去除可分性假设？
• RQ2 Kunugi在1936年的论文在Kuratowski于1935年提出的关于将Baire性质结果推广至非可分陪域问题的背景下有何意义？
• RQ3 Lusin在1934年关于无法被Borel集分离的不可分集的结果，如何与可测集与Baire集的结构相关联？
• RQ4 '始终为第一纲'与'在一点处为第二纲'的概念在分析拓扑空间子集结构方面能起到多大作用？
• RQ5 能否仅使用拓扑与测度论工具，而不借助强迫或模型论方法，证明Baire性质连续性定理的非可分情形？

主要发现

• Kunugi在1936年的论文为Kuratowski在1935年提出的问题提供了答案，表明从度量空间到拓扑空间的函数若具有Baire性质，则其在第一纲集之外连续，即使陪域不可分。
• Lusin在1934年的结果确立了：在正测度的完备集中，存在两个不相交子集无法被任何Borel集分离，这一结果对理解不可分Baire集具有基础性意义。
• 本文证明：若$Y$是权$\leq \mathfrak{c}$的Čech完备空间，则任意函数$f: Y \to X$若具有Baire性质，则其在第一纲集之外连续，即使$X$不可分。
• 作者证明：对于点有限的普遍$\mathcal{M}$-零或始终为第一纲的集合族，若其并集非零，则不存在任何普遍$\mathcal{M}$-可测集能将某一子族与其余部分分离。
• 在点上测度为零的条件下，可找到一个正测度的完备集$Q$，使得$Q$的两个不相交子集$E_1, E_2$各自具有等于$m(Q)$的外测度，从而证实了Lusin的断言。
• 本文建立：若$A \subset E$在$E$上具有Baire性质，且$E$在$X$中稠密，则在某些条件下$A$在$E$上也具有Baire性质，该结论被用于推导非分离性的矛盾。