[论文解读] Partitions of graphs into small and large sets

Asen Bojilov, Yair Caro+2 more|RECERCAT (Consorci de Serveis Universitaris de Catalunya)|May 8, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入图中的k-small与k-large集合，定义了最小划分为此类集合的划分参数φₖ(G)与Ωₖ(G)。研究建立了其与独立数、团数及色数之间的紧密联系，提出了φₖ(G)与Ωₖ(G)的线性时间贪心算法，并推导出能改进Caro-Wei、Turán与Hansen-Zheng定理的精确不等式，通过新边数与度序列的界实现细化。

ABSTRACT

Let $G$ be a graph on $n$ vertices. We call a subset $A$ of the vertex set $V(G)$ \emph{$k$-small} if, for every vertex $v \in A$, $°(v) \le n - |A| + k$. A subset $B \subseteq V(G)$ is called \emph{$k$-large} if, for every vertex $u \in B$, $°(u) \ge |B| - k - 1$. Moreover, we denote by $φ_k(G)$ the minimum integer $t$ such that there is a partition of $V(G)$ into $t$ $k$-small sets, and by $Ω_k(G)$ the minimum integer $t$ such that there is a partition of $V(G)$ into $t$ $k$-large sets. In this paper, we will show tight connections between $k$-small sets, respectively $k$-large sets, and the $k$-independence number, the clique number and the chromatic number of a graph. We shall develop greedy algorithms to compute in linear time both $φ_k(G)$ and $Ω_k(G)$ and prove various sharp inequalities concerning these parameters, which we will use to obtain refinements of the Caro-Wei Theorem, the Turán Theorem and the Hansen-Zheng Theorem among other things.

研究动机与目标

• 定义并分析图中k-small与k-large集合，将其作为独立集与团集的推广。
• 设计高效贪心算法，用于计算φₖ(G)与Ωₖ(G)，即划分为k-small与k-large集合的最小数量。
• 建立φₖ(G)、Ωₖ(G)与经典图参数（如独立数、团数与色数）之间的紧密联系。
• 推导涉及φₖ(G)与Ωₖ(G)的精确不等式，以改进已知定理（如Caro-Wei、Turán与Hansen-Zheng）。
• 利用φₖ(G)与Ωₖ(G)提供图中边数的新上界与下界，改进经典结果。

提出的方法

• 定义k-small集合A为满足对所有v ∈ A有deg(v) ≤ n − |A| + k的子集，k-large集合B为满足对所有v ∈ B有deg(v) ≥ |B| − k − 1的子集。
• 引入φₖ(G)为V(G)可被划分为k-small集合的最小数量，Ωₖ(G)则类似地定义为k-large集合的最小划分数。
• 通过补图建立对偶性：φₖ(G) = Ωₖ(Ḡ)与Ωₖ(G) = φₖ(Ḡ)，在图与其补图之间建立参数联系。
• 设计贪心算法，通过迭代选择极大k-small或k-large集合，实现O(n + m)时间复杂度下φₖ(G)与Ωₖ(G)的计算。
• 利用φₖ(G)与Ωₖ(G)推导边数e(G)的界，证明e(G) ≤ (φₖ(G) − 1)n² / (2φₖ(G))等类似不等式。
• 引入small/large集合的α-与β-变体（如α-small：∑₁/(deg(v)+1) ≤ 1），并定义φₖ^α(G)、Ωₖ^α(G)等，以进一步细化界。

实验结果

研究问题

• RQ1 k-small与k-large集合与经典图参数（如独立数、团数与色数）之间有何关系？
• RQ2 能否为任意图G设计线性时间算法，高效计算φₖ(G)与Ωₖ(G)？
• RQ3 涉及φₖ(G)与Ωₖ(G)的最紧致不等式是什么？其如何改进已知定理（如Caro-Wei与Turán）？
• RQ4 α-与β-变体的small与large集合在多大程度上改进了边数与度序列的界？
• RQ5 不等式φₖ^β(G) ≤ CW(Ḡ)是否恒成立？其与Caro-Wei界有何关系？

主要发现

• 可通过迭代选择极大k-small或k-large集合的贪心算法，在线性时间O(n + m)内计算φₖ(G)与Ωₖ(G)。
• 参数满足φₖ(G) = Ωₖ(Ḡ)与Ωₖ(G) = φₖ(Ḡ)，在图与其补图之间建立了强对偶性。
• 不等式φₖ(G) ≥ n / (n − d(G))成立，且在特定构造（如两个团的连通和）中可趋近等号。
• 边数界e(G) ≤ (φₖ(G) − 1)n² / (2φₖ(G))在φₖ(G) < ω(G)时优于Turán的经典界，提供更紧的边数估计。
• 对于Caro-Wei界，有CW(Ḡ) ≤ φₖ^α(G) ≤ φₖ^β(G) ≤ φₖ(G)，且猜想φₖ^β(G) ≤ CW(Ḡ)但尚未证明。
• k-small集合的最大大小Sₖ(G)满足Sₖ(G) ≤ Sₖ^α(G) ≤ Sₖ^β(G) ≤ ⌊(n−Δ)/2 + √((n−Δ)²/4 + nΔ − 2e(G))⌋，提供闭式上界。