[论文解读] Partitions of unity

Jerzy Dydak|ArXiv.org|Oct 24, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 16

一句话总结

本文提出了一种使用等连续的单位分解作为统一工具的通用拓扑新框架，以统一方式推导出经典结果，如Tietze延拓定理、Stone定理和Tamano定理。它建立了一个单位分解的微积分，该微积分推广了重心剖分，并为维数理论和度量单纯复形提供了新的代数方法。

ABSTRACT

The paper contains an exposition of part of topology using partitions of unity. The main idea is to create variants of the Tietze Extension Theorem and use them to derive classical theorems. This idea leads to a new result generalizing major results on paracompactness (Stone Theorem and Tamano Theorem), a result which serves as a connection to Ascoli Theorem. A new calculus of partitions of unity is introduced with applications to dimension theory and metric simplicial complexes. The geometric interpretation of this calculus is the barycentric subdivision of simplicial complexes. Also, joins of partitions of unity are often used; they are an algebraic version of joins of simplicial complexes.

研究动机与目标

• 通过单位分解统一一般拓扑学中的基础概念——正规性、仿紧性与Tietze延拓定理。
• 开发一种新的单位分解代数微积分，该微积分推广了几何构造（如重心剖分）。
• 通过等连续性建立单位分解与Ascoli型定理之间的联系。
• 通过子ordinated于开覆盖的单位分解，为仿紧性与正规性提供新的刻画。
• 通过引入等连续族，将单位分解的应用范围从局部有限或点有限的情形推广出去。

提出的方法

• 通过有限开覆盖存在子ordinated于它的单位分解来定义正规空间与仿紧空间，取代基于分离公理的传统定义。
• 使用等连续单位分解作为核心工具，推导连续函数的延拓，推广Tietze延拓定理。
• 引入涉及并（joins）的单位分解微积分，该微积分代数地模拟单纯复形的并运算。
• 将该微积分应用于维数理论，表明单位分解可通过细化过程用于定义和计算维数。
• 使用逆极限与紧化方法，将等连续函数族嵌入到具有紧因子的乘积空间上的连续映射中。
• 通过指标集的一点紧化定义强等连续性，将求值映射的连续性与等连续性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 单位分解能否用于统一一般拓扑学中的经典定理，如Tietze延拓定理与Stone关于仿紧性的定理？
• RQ2 等连续单位分解如何成为维数理论与度量单纯复形理论的基础？
• RQ3 单位分解的并的代数结构是什么？它与重心剖分的几何运算有何关系？
• RQ4 在何种条件下，一个子集上的等连续函数族可以延拓到整个空间并保持等连续性？
• RQ5 在何种条件下，一个空间上的函数族可连续延拓到具有紧致Hausdorff因子的乘积空间？

主要发现

• 本文证明：一个Hausdorff空间是正规的，当且仅当对每个有限开覆盖，都存在子ordinated于它的单位分解，从而为正规性提供了新刻画。
• 推导出等连续单位分解的Tietze延拓定理的新推广，将从闭子集到整个空间的连续函数进行延拓。
• 单位分解的微积分（包括其并运算）为单纯复形中的重心剖分提供了代数模型。
• 本文证明：从空间到正则空间的每个具有逐点预紧像的等连续函数族，可被嵌入到具有紧致Hausdorff空间因子的乘积空间上的连续映射中。
• 通过指标集的一点紧化，将函数族的强等连续性刻画为求值映射在乘积空间上的连续性。
• 本文表明：一个实值函数族在子集上点态有界且等连续，当且仅当该子集是P-嵌入的，从而推广了Yamazaki的一个结果。