[论文解读] Patch-wise Quadrature of Trimmed Surfaces in Isogeometric Analysis

Michael Loibl, Leonardo Leonetti+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2023

Advanced Numerical Analysis TechniquesEngineering被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于等几何分析中修整NURBS曲面的分块积分规则，通过将现有的1D最优积分技术扩展至2D修整几何，自适应调整积分点以匹配实际参数化和修整边界。该方法在保持线性和非线性壳体分析精度的同时，显著减少了积分点数量，优于标准修整方法。

ABSTRACT

This work presents an efficient quadrature rule for shell analysis fully integrated in CAD by means of Isogeometric Analysis (IGA). General CAD-models may consist of trimmed parts such as holes, intersections, cut-offs etc. Therefore, IGA should be able to deal with these models in order to fulfil its promise of closing the gap between design and analysis. Trimming operations violate the tensor-product structure of the used Non-Uniform Rational B-spline (NURBS) basis functions and of typical quadrature rules. Existing efficient patch-wise quadrature rules consider actual knot vectors and are determined in 1D. They are extended to further dimensions by means of a tensor-product. Therefore, they are not directly applicable to trimmed structures. The herein proposed method extends patch-wise quadrature rules to trimmed surfaces. Thereby, the number of quadrature points can be signifficantly reduced. Geometrically linear and non-linear benchmarks of plane, plate and shell structures are investigated. The results are compared to a standard trimming procedure and a good performance is observed.

研究动机与目标

• 解决在违反张量积结构的修整曲面上实现高效且精确积分的挑战。
• 将为未修整曲面片设计的现有1D分块积分规则扩展至具有复杂边界的2D修整曲面。
• 在不牺牲精度的前提下，减少修整壳体结构积分所需的积分点数量。
• 通过保持高计算效率，实现CAD模型中孔洞、切口和相交结构与IGA工作流的无缝集成。

提出的方法

• 通过将1D广义高斯积分规则推广至2D，将最优积分点的概念扩展至修整曲面片。
• 利用修整NURBS曲面的实际节点向量和几何参数，以分块方式确定积分点和权重。
• 采用张量积扩展策略，尊重修整区域的边界，避免标准高斯积分在修整单元中效率低下的问题。
• 采用递归算法计算积分点和权重，确保对任意多项式次数和节点分布均具有稳定性与收敛性。
• 在基于伽辽金法的等几何公式中实现该方法，适用于几何线性和非线性壳体问题。
• 通过基准算例的收敛性研究与标准修整方法及全高斯积分的对比，验证了该方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将分块积分规则从未修整曲面扩展至等几何分析中的修整NURBS曲面？
• RQ2 在修整曲面片上实现精确积分所需的最优积分点数量是多少，以及如何高效计算这些点？
• RQ3 在壳体分析中，该方法与标准高斯积分和传统修整技术相比，在精度和效率方面表现如何？
• RQ4 在涉及修整壳体的几何非线性问题中，该方法是否能保持最优收敛率并降低计算成本？
• RQ5 积分点分布的变化对IGA中并行化效率和矩阵对称性有何影响？

主要发现

• 所提出的分块积分规则相比标准高斯积分显著减少了积分点数量，尤其在修整区域效果更明显。
• 在带孔板基准算例中，该方法在板中心得到位移结果-0.002401，与高精度参考解一致。
• 在弯曲壳体算例中，该方法在点A处得到位移-0.3610789，展示了其在非线性分析中的鲁棒性。
• 所有基准算例中，该方法均保持了最优收敛率，证实其在处理线性和非线性问题时的可靠性。
• 与标准修整方法相比，计算时间显著减少，尤其在重复积分多次的非线性分析中优势明显。
• 该方法通过在复杂修整几何中保持分块积分的优势，实现了CAD集成壳体分析的高效积分。